Question

1．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D從原點(diǎn)O開始沿OB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C開始沿CO方向以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)D、E停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若F（-1，0），求△DEF的面積S與E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF的面積最大？最大面積是多少？
（3）當(dāng)△DEF的面積最大時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N，使△EBN是直角三角形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）將A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²-4x+3，
配方，得y=（x-2）²-1，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）；
（2）如圖1，
由題意，得
CE=t，OE=3-t，F(xiàn)E=4-t，OD=t．
S=$\frac{1}{2}$FE•OD=$\frac{1}{2}$（4-t）t=-$\frac{1}{2}$t²+2t=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，
當(dāng)t=2時(shí)，S_最大=2；
（3）當(dāng)△DEF的面積最大時(shí)，E（1，0），設(shè)N（2，a），
BN²=4+（a-3）²，EN²=1+a²，BE²=1+9=10，
①當(dāng)BN²+EN²=BE²時(shí)，4+9-6a+a²+a²+1=10，化簡(jiǎn)，得
a²-3a+2=0，解得a=2，a=1，N（2，2），N（2，1）；
②當(dāng)BN²+BE²=EN²時(shí)，4+9-6a+a²+10=1+a²，化簡(jiǎn)，得
6a=22，解得a=$\frac{11}{3}$，N（2，$\frac{11}{3}$）；
③當(dāng)BE²+EN²=BN²時(shí)，1+a²+10=4+9-6a+a²，
化簡(jiǎn)，得
6a=2，解得a=$\frac{1}{3}$，N（2，$\frac{1}{3}$），
綜上所述：N點(diǎn)的坐標(biāo)（2，2），（2，1），（2，$\frac{11}{3}$），（2，$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值；利用勾股定理的逆定理得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．