Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

3

4

x-

3

2

與拋物線y=-

1

4

x2+bx+c交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E．
①設(shè)△PDE的周長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出b，c即可；
（2）①根據(jù)△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=y_P-y_D求出二函數(shù)最值即可；
②當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

=2，解得x=

-3± 17

2

，
所以得出P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，x=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

，解得x=

-7± 89

2

，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）對(duì)于y=

3

4

x-

3

2

，當(dāng)y=0，x=2．當(dāng)x=-8時(shí)，y=-

15

2

．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為(-8，-

15

2

)．
由拋物線y=-

1

4

x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
得

0=-1+2b+c - 15 2 =-16-8b+c.

解得b=-

3

4

，c=

5

2

．
∴y=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

．

（2）①設(shè)直線y=

3

4

x -

3

2

與y軸交于點(diǎn)M，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-

3

2

．∴OM=

3

2

．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴OA=2．∴AM=

OA2+OM2

=

5

2

．
∵OM：OA：AM=3：4：5．
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．
∴DE：PE：PD=3：4：5．
∵點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∵PD⊥x軸，
∴PD兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，
∴PD=y_P-y_D=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

-（

3

4

x-

3

2

）
=-

1

4

x²-

3

2

x+4，
∴l=

12

5

(-

1

4

x2-

3

2

x+4)
=-

3

5

x2-

18

5

x+

48

5

．
∴l=-

3

5

(x+3)2+15．
∴x=-3時(shí)，l_最大=15．
②當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，如圖2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，
即-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

=2，解得x=

-3± 17

2

，
所以P1(

-3+ 17

2

，2)，P2(

-3- 17

2

，2)，
如圖3，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PS⊥x軸于點(diǎn)S，
由△PNF≌△PSA，
PN=PS，可得P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，
故得當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，
x=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

，解得x=

-7± 89

2

，
可得P3(

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

)，P4(

-7- 89

2

，

-7- 89

2

)（舍去）．
綜上所述：滿足題意的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是P1(

-3+ 17

2

，2)，P2(

-3- 17

2

，2)
P3(

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析以及靈活應(yīng)用相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．