Question

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，C是弧AB的中點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，BE⊥DC，垂足為E，DF∥EB，交AB與點(diǎn)F，F(xiàn)H⊥BD，垂足為H，BC=4，CP=3．
求（1）BD和DH的長(zhǎng)；（2）BE•BF的值．

Answer 1

分析：（1）本題需先連接AC，由此可以得出AC=BC，可得出AP=5，再根據(jù)切割線定理可得PD•PA=PC•PB，再得出PD、AD的長(zhǎng)，最后求出BD的長(zhǎng)．再根據(jù)∠CDB是弧BC所對(duì)圓周角，求出∠CDB=45°得出∠BDF=45°，得出△BDA∽△BHF即可求出DH的長(zhǎng)．
（2）根據(jù)第一題的得出，知道∠CDB=45°，∠E=90°得出∠DBE=45°再根據(jù)已知條件得出△FHB∽△CEB，分別求出
BE•BF=BC•BH即可求出結(jié)果．

解答：解：（1）連接AC，可知∠ACB=90°，AC=BC，
由勾股定理得AP=5
又∵由割線定理可得PD•PA=PC•PB，
∴PD=4.2，AD=0.8
∵∠ADB=90°，AB=4

2

∴BD=5.6
又∵∠CDB是弧BC所對(duì)圓周角，
∴∠CDB=45°，
∵BE⊥DC，DF∥EB，
∴DF⊥DE，即∠EDF=90°，
可得∠BDF=∠EDF-∠CDB=45°，
∴DH=HF
又由△BDA∽△BHF
∴

BH

BD

=

FH

AD

∴DH=0.7

（2）∵∠CDB=45°，∠E=90°
∴∠DBE=45°
又∵∠ABC=45°，
∴∠FBH=∠CBE
又∠FHB=∠E=90°
∴△FHB∽△CEB
∴BE•BF=BC•BH
=4.9×4
=19.6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，在解題時(shí)要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用，必要的時(shí)候圖形要作一些輔助線方可．