Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）寫出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若P（0，t）（t＜-1）是y軸上一點(diǎn)，Q（-5，0），將點(diǎn)Q繞著點(diǎn)P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)E恰好在該二次函數(shù)的圖象上時，求t的值；

（3）在（2）的條件下，連接AD、AE．若M是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且∠DAE=∠MCB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0），D（1，4）；（2）所求t的值為-2；（3）M(，)或M（4，-5）．

【解析】

（1）y=-x2+2x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=3或-1，即可求解；
（2）△EPH≌△PQO（AAS），則EH=OP=-t，HP=OQ=5，E（-t，5+t），當(dāng)點(diǎn)E恰好在該二次函數(shù)的圖象上時，有5+t=-t2-2t+3，即可求解；
（3）分點(diǎn)M在x軸上、點(diǎn)M在x軸兩種情況，分別求解即可．

（1）y=-x2+2x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=3或-1，
故：A（-1，0），B（3，0），D（1，4）；

（2）如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H，

∵∠PQO+∠OPQ=90°，

∠OPQ+∠HPE=90°，

∴∠HPE=∠PQO，

由旋轉(zhuǎn)知，PQ=PE，

∴△EPH≌△PQO(AAS)，

∴EH=OP=-t，

HP=OQ=5

∴E（-t，5+t）

當(dāng)點(diǎn)E恰好在該二次函數(shù)的圖象上時，

有5+t=-t2-2t+3

解得t1=-2，t2=-1（由于t＜-1所以舍去），

故所求t的值為-2；

（3）設(shè)點(diǎn)M（a，-a2+2a+3）

①若點(diǎn)M在x軸上方，

如圖2，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠EAB=∠OCB=45°，

∠DAE=∠MCB

∴∠MCN=∠DAF

∴△MCN∽△DAF，

∴，

∴，a2=0（舍去），

∴M(，) ；

②若點(diǎn)M在x軸下方，

用同樣的方法得M（4，-5），

綜上所述，M(，)或M（4，-5）．