Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為6的正三角形OAB的OA邊在x軸的正半軸上，BC是正三角形OAB的高．點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)P以1 單位/s的速度沿O→B→A向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1 單位/s的速度沿x軸的正半軸方向勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A時(shí)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（0＜x≤12）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到直線PQ與邊OB垂直時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x的值；
（3）若△OPQ與△OBC重疊部分的面積為S（平方單位），求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若6＜x＜12時(shí)，求點(diǎn)P、Q距離的最小值；并求出P、Q的距離最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，得出OC=CA=OA==3，然后求出BC=tan60°×3=3，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線PQ⊥OB時(shí)．∠QPB=90°，因?yàn)椤螦BO=60°所以∠1=30°，∠2=30°，因?yàn)椤螦OP=60°所以∠Q=90°-60°=30°，所以∠α=∠Q，AP=AQ，列方程得12-x=x-6，解出方程即可；
（3）當(dāng)0＜x＜3，可得出，當(dāng)3≤x＜6時(shí)，根據(jù)可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)6≤x＜12時(shí)，根據(jù)，作P₃H⊥OA，根據(jù)△OCH∽△OHP₃得出，把x代入，再進(jìn)行整理即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）根據(jù)PQ²=P₃H²+HQ²₃得出PQ²=-x²-18x+108，因?yàn)?＜x＜12，所以當(dāng)x=-9時(shí)，求出PQ²有最小值，然后求出PQ的^_最小值=，即可得出P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，
∴OC=CA=OA==3，
∴BC=tan60°×3=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是；

（2）當(dāng)直線PQ⊥OB時(shí)．∠QPB=90°，
∵∠ABO=60°∴∠1=30°∴∠2=30°，
∵∠AOP=60°∴∠Q=90°-60°=30°，
∴∠α=∠Q，AP=AQ，
∴12-x=x-6，
∴2x=18，
x=9；

（3）當(dāng)0＜x＜3，，
當(dāng)3≤x＜6時(shí)，=，
6≤x＜12時(shí)，．
作P₃H⊥OA，
∵△OCF∽△OHP₃，
∴，
∴，
∴S與x的函數(shù)關(guān)系式是：，

（4）PQ²=P₃H²+HQ²₃=，
∵6＜x＜12當(dāng)時(shí)，PQ²有最小值=，
∴PQ_最小=
∴P的坐標(biāo)是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，要注意的是（3）中，要根據(jù)x的取值范圍分類求解．