Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Rt△OAB的直角邊OA在x軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（

3

，1），以O(shè)B所在直線為對(duì)稱軸將△OAB作軸對(duì)稱變換得△OCB．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）若四邊形BCQP的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)PQ與OB交于點(diǎn)M，
①當(dāng)△OMQ為等腰三角形時(shí)，求t的值．
②探究線段OM長度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）判斷出△OCB≌△OAB，故可得到∠COB=∠AOB=30°，根據(jù)折疊不變性即可得到∠AOC=60；
（2）根據(jù)S=2S_△OAB-S_△OPQ-S_△PAB，再結(jié)合三角形的面積公式，即可建立S和t的關(guān)系式．
（3）若△OMQ為等腰三角形，則OM=MQ，OM=OQ或MQ=OQ，對(duì)每種情況進(jìn)行解答，關(guān)鍵是將各邊的表達(dá)式代入即可．

解答：解：（1）∵在Rt△OAB中，AB=1，OA=

3

，
∴tan∠AOB=

AB

OA

=

1

3

=

3

3

，即∠AOB=30°，
∵△OCB≌△OAB，
∴∠COB=∠AOB=30°，
∴∠AOC=60°；

（2）∵OP=CQ=t，AB=1，OC=OA=

3

，
∴AP=OQ=

3

-t，
∴S=2S_△OAB-S_△OPQ-S_△PAB，
=OA×AB-

1

2

OP×OQ×sin∠AOC-

1

2

PA×AB，
=

3

×1-

1

2

×t×(

3

-t)×

3

2

-

1

2

×(

3

-t)×1，
=

3

4

t2-

1

4

t+

3

2

；

（3）①若△OMQ為等腰三角形，則：
（i）如圖①所示，若OM=MQ，∠MQO=∠QOM=30°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OPQ=90°，
∴

OP

OQ

=

1

2

，即

t

3 -t

=

1

2

，
解得：t=

3

3

．
（ii）如圖②所示，若OM=OQ，∠OMQ=∠OQM=75°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OPQ=45°，
過點(diǎn)Q作QE⊥OA，垂足為E，則有：
EQ=EP，即

3

2

(

3

-t)=t-

1

2

(

3

-t)，
解得：t=1．
（iii）若MQ=OQ，∠OMQ=∠QOM=∠POM，則PQ∥OA，顯然不滿足題意．
②線段OM長的最大值為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的最值、翻折變換、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性很強(qiáng)，同時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用．