Question

【題目】如圖，已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且B（3，0），AB=2

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△APC的周長最小，求此時P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出△APC周長；

（3）設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣4x+3 ；(2) 點(diǎn)P（2，1）時，△APC的周長最小，最小值為；(3) （0，3）或（4，3）或（2，﹣1）．

【解析】

試題分析：（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）由點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，所以連接BC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出各線段，即可；

（3）①AB為平行四邊形的邊時，就有AB∥DE，AB=DE，設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，表示出點(diǎn)E坐標(biāo)，由AB=DE求出點(diǎn)D坐標(biāo)；

②AB為平行四邊形的對角線時，AB，DE互相平分，而點(diǎn)E在拋物線對稱軸上，得出點(diǎn)D也在拋物線對稱軸上，即點(diǎn)D就是拋物線的頂點(diǎn)．

試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且B（3，0），AB=2，

∴A（1，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3)，

∵點(diǎn)C在拋物線上，

∴3=a×(﹣1)×(﹣3)=3a，

∴a=1，

∴拋物線解析式為y=(x﹣1)(x﹣3)=﹣4x+3，

（2）如圖1，

由（1）有，拋物線解析式為y=(x﹣1)(x﹣3)=﹣4x+3，

∴拋物線的對稱軸為x=2，

連接BC，交對稱軸于點(diǎn)P，連接AP，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱，

∴點(diǎn)P就是使得△APC的周長最小時，對稱軸上的點(diǎn)，即：PA=PB，

∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，BC=，

當(dāng)x=2時，y=1，

∴P（2，1），

∵A（1，0），

∴AP=，

∴△APC周長=AC+AP+CP=AC+BC=+=，

即：點(diǎn)P（2，1）時，△APC的周長最小，最小值為；

（3）∵以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴分AB為對角線和邊兩種情況計算，

①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，AB∥DE，AB=DE，

∵點(diǎn)D在拋物線上，

∴設(shè)點(diǎn)D（m，﹣4m+3），

∵點(diǎn)E在拋物線對稱軸x=2上，

∴點(diǎn)E（2，﹣4m+3），

∵DE∥AB，

∴DE=|m﹣2|，

∵AB=DE，AB=2，

∴|m﹣2|=2，

∴m=0，或m=4，

∴D（0，3）或（4，3），

②當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，AB與DE互相平分，

∵點(diǎn)E在拋物線對稱軸上，

∴點(diǎn)D也在拋物線的對稱軸上，

即：點(diǎn)D就是拋物線的頂點(diǎn)，

由（1）得，拋物線解析式為y=（x﹣1）（x﹣3），

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），

∴滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）或（4，3）或（2，﹣1）．