Question

如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)B（，2），且與x軸交于點(diǎn)A．將拋物線沿x軸作左右平移，記平移后的拋物線為C，其頂點(diǎn)為P．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）直線AB交拋物線的右側(cè)于點(diǎn)D，問點(diǎn)B是AD中點(diǎn)嗎？試說明理由；
（3）拋物線C與y軸交于點(diǎn)E，與直線AB交于兩點(diǎn)，其中一個交點(diǎn)為F．當(dāng)線段EF∥x軸時，求平移后的拋物線C對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)M，
將x=-，y=2代入y=x+b得b=3，
∴y=x+3，
當(dāng)x=0時，y=3，當(dāng)y=0時x=-3
∴A（-3，0），M（0，3）；
∴OA=3，OM=3，
∴tan∠BAO==
∴∠BAO=30°．

（2）聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式，有：
，解得：、
∴D（，）；
已知：A（-3，0）、B（，2），顯然點(diǎn)B不是AD的中點(diǎn)．

（3）設(shè)拋物線C的解析式為y=（x-t）²，則P（t，0），E（0，t²），
∵EF∥x軸且F在拋物線C上，根據(jù)拋物線的對稱性可知F（2t，t²），
把x=2t，y=t²代入y=x+3
得t+3=t²
解得t₁=-，t₂=3
∴拋物線C的解析式為y=（x+）²或y=（x-3）²．
分析：（1）首先將B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AB的解析式中，在確定出b值后進(jìn)而能得出直線AB與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，若設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為M，那么在Rt△AOM中，根據(jù)OA、OM的長可求出∠OAB的正切值，由此得出∠BAO的度數(shù)．
（2）聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式，在求出點(diǎn)D的坐標(biāo)后，根據(jù)A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)來判斷點(diǎn)B是否為AD的中點(diǎn)．
（3）根據(jù)“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律先設(shè)出拋物線C的表達(dá)式，即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)E為拋物線C與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB與拋物線C的交點(diǎn)，也可以理解為點(diǎn)E、F都在拋物線C的圖象上，若EF∥x軸，那么點(diǎn)E、F必關(guān)于拋物線對稱軸對稱，首先根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)和拋物線對稱軸方程表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再代入直線AB的解析式中進(jìn)行求解即可．
點(diǎn)評：此題的難度適中，在（1）題中，求出直線AB的解析式，題目也就解決了大半；（2）題著重考查的是一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法；（3）題中，點(diǎn)E、F關(guān)于拋物線對稱軸對稱是不容易想到的地方，此外，二次函數(shù)的平移規(guī)律也是需要牢記的內(nèi)容．