Question

如圖①，在△ABC中，CD、CE分別是△ABC的高和角平分線，∠BAC=α，∠B=β（α＞β）．
（1）若α=70°，β=40°，求∠DCE的度數(shù)；
（2）試用α、β的代數(shù)式表示∠DCE的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；
（3）如圖②，若CE是△ABC外角∠ACF的平分線，交BA延長線于點E，且α-β=30°，求∠DCE的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）三角形的內(nèi)角和是180°，已知∠BAC與∠ABC的度數(shù)，則可求出∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠BCE，再利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠DEC的度數(shù)，進而求出∠DCE的度數(shù)；
（2）∠DCE=

α-β

2

．
（3）作∠ACB的內(nèi)角平分線CE′，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACF=90°，進而求出∠DCE的度數(shù)．

解答：解：（1）因為∠ACB=180°-（∠BAC+∠B）=180°-（70°+40°）=70°，
又因為CE是∠ACB的平分線，
所以∠ACE=

1

2

∠ACB=35°．
因為CD是高線，
所以∠ADC=90°，
所以∠ACD=90°-∠BAC=20°，
所以∠DCE=∠ACE-∠ACD=35°-20°=15°．

（2）∠DCE=

α-β

2

．

（3）如圖，作∠ACB的內(nèi)角平分線CE′，
則∠DCE′=

α-β

2

=15°．
因為CE是∠ACB的外角平分線，
所以∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACF=

1

2

(∠ACB+∠ACF)=90°，
所以∠DCE=90°-∠DCE′=90°-15°=75°．
即∠DCE的度數(shù)為75°．

點評：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關鍵是溝通外角和內(nèi)角的關系．解決（3），作輔助線是關鍵．