Question

（1）將下列各題分解為部分分式：
①

x-5

(x+1)(2x-1)

②

6x2+16x+18

(x+1)(x+2)(x+3)

（2）已知：

x2+2

(x-1)3

≡

A

(x-1)

+

B

(x-1)2

+

C

(x-1)3

，求A、B、C的值．

Answer 1

分析：（1）仔細(xì)觀察兩個(gè)分式的分母都是積的形式，所以，根據(jù)分式通分的逆過程，將原分式化為幾個(gè)分式的和的形式來解答；
（2）先將原分式通分，然后根據(jù)分子的特點(diǎn)將對(duì)應(yīng)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)找出來組成方程組來解答．

解答：解：（1）①設(shè)

x-5

(x+1)(2x-1)

=

A

x+1

+

B

2x-1

=

(2A+B)x-(A-B)

(x+1)(2x-1)

∴

2A+B=1 B-A=5

解得，

A=2 B=-3

∴

x-5

(x+1)(2x-1)

=

2

x+1

-

3

2x-1

②設(shè)

6x2+16x+18

(x+1)(x+2)(x+3)

=

A

x+1

+

B

x+2

+

C

x+3

=

A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)

(x+1)(x+2)(x+3)

=

(A+B+C)2+(5A+4B+3C)x+6A+3B+2C

(x+1)(x+2)(x+3)

∴

A+B+C=6 5A+4B+3C=16 6A+3B+2C=18

，
∴解得，

A=4 B=-10 C=12

∴原式=

4

x+1

-

10

x+2

+

12

x+3

（當(dāng)A、B、C的值也可用x的特殊值來求）

（2）設(shè)

x2+2

(x-1)3

=

A

x-1

+

B

(x-1)2

+

C

(x-1)3

= A(x-1)2+B(x-1)+C (x-1)3 = Ax2-2Ax+Bx+A-B+C (x-1)3 = Ax2+(B-2A)x+A-B+C (x-1)3

∴

A=1 B-2A=0 A-B+C=2

，
解得，

A=1 B=2 C=3

點(diǎn)評(píng)：解答本題時(shí)，主要用到了通分的方法來計(jì)算分式的加減法．