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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),△MBC是等邊三角形.
          (1)求證:梯形ABCD是等腰梯形;
          (2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng),且∠MPQ=60°保持不變.設(shè)PC=x,MQ=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)在(2)中:
          ①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),以點(diǎn)P、M和點(diǎn)A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?并指出符合條件的平行四邊形的個(gè)數(shù);
          ②當(dāng)y取最小值時(shí),判斷△PQC的形狀,并說明理由.
          分析:(1)需證△AMB≌△DMC,可得AB=DC,可得梯形ABCD是等腰梯形;
          (2)可證△BPM∽△CQP,
          PC
          BM
          =
          CQ
          BP
          ,PC=x,MQ=y,BP=4-x,QC=4-y,
          x
          4
          =
          4-y
          4-x
          ,即可得出y=
          1
          4
          x2
          -x+4;
          (3)應(yīng)考慮四邊形ABPM和四邊形MBPD均為平行四邊形,四邊形MPCD和四邊形APCM均為平行四邊形時(shí)的情況;由(2)中的函數(shù)關(guān)系,可得當(dāng)y取最小值時(shí),x=PC=2,P是BC的中點(diǎn),MP⊥BC,而∠MPQ=60°,∠CPQ=30°,∠PQC=90°.
          解答:(1)證明:∵△MBC是等邊三角形,
          ∴MB=MC,∠MBC=∠MCB=60°.(1分)
          ∵M(jìn)是AD中點(diǎn),
          ∴AM=MD.
          ∵AD∥BC,
          ∴∠AMB=∠MBC=60°,∠DMC=∠MCB=60°.
          ∴△AMB≌△DMC.(2分)
          ∴AB=DC.
          ∴梯形ABCD是等腰梯形.(3分)

          (2)解:在等邊△MBC中,MB=MC=BC=4,∠MBC=∠MCB=60°,∠MPQ=60°,
          ∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°.
          ∴∠BMP=∠QPC.(4分)
          ∴△BPM∽△CQP.
          PC
          BM
          =
          CQ
          BP
          .(5分)
          ∵PC=x,MQ=y,
          ∴BP=4-x,QC=4-y.(6分)
          x
          4
          =
          4-y
          4-x

          ∴y=
          1
          4
          x2
          -x+4.(7分)
          精英家教網(wǎng)

          (3)解:①當(dāng)BP=1時(shí),則有BP
          .
          .
          AM,BP
          .
          .
          MD,
          則四邊形ABPM為平行四邊形,
          ∴MQ=y=
          1
          4
          ×32-3+4=
          13
          4
          .(8分)
          當(dāng)BP=3時(shí),則有PC
          .
          .
          AM,PC
          .
          .
          MD,
          則四邊形MPCD為平行四邊形,
          ∴MQ=y=
          1
          4
          ×12-1+4=
          13
          4
          .(9分)
          ∴當(dāng)BP=1,MQ=
          13
          4
          或BP=3,MQ=
          13
          4
          時(shí),
          以P、M和A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.此時(shí)平行四邊形有2個(gè).(10分)
          ②△PQC為直角三角形.(11分)
          ∵y=
          1
          4
          (x-2)2+3,
          ∴當(dāng)y取最小值時(shí),x=PC=2.(12分)
          ∴P是BC的中點(diǎn),MP⊥BC,而∠MPQ=60°,
          ∴∠CPQ=30°,
          ∴∠PQC=90°.
          ∴△PQC是直角三角形.(13分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查平行四邊形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          =
          S△BOC.(填“>”、“=”或“<”)

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