Question

已知四邊形ABCD中．AD=AB，AD∥BC，∠A=90°，M為邊AD的中點，F為邊BC上一點，連接MF，過射點作ME⊥MF，交邊AB于點E
（1）如圖1，當∠ADC=90°時，求證：4AE+2CF=CD；
（2）如圖2，當∠ADC=135°時，線段AE、CF、CD的數量關系為______
（3）如圖3．在（1）的條件下，連接EF、EC，EC與FM相交于點K，線段FM關于FE對稱 的線段與AB相交于點N．若NE=，FC=AE，求MK的長．

Answer 1

（1）證明：過點F作FN⊥AD，垂足為N．
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，
∵∠ADC=90°，AD=AB，
∴四邊形CDAB是正方形，
∴NF=CD=AD．
∵M為邊AD的中點，
∴AD=2AM=2MD，
∴NF=CD=2AM．
在△AME與△MFN中，
∵∠A=90°=∠MNF=∠EMF，
∴∠AME+∠NMF=90°=∠NMF+∠MFN，
∴∠AME=∠MFN，
∴△AME∽△NFM，
∴==，
∴MN=2AE，
∵MD=AD=CD=MN+DN=2AE+FC，
∴2MD=4AE+2CF，
∴4AE+2FC=CD；

（2）解：如圖2，過點C作CD′⊥AD于D′，過點F作FN⊥AD于N，
則四邊形ABFN與四邊形FND′C都是矩形，
∴D′C=NF=AB=AD，ND′=FC．
∵∠ADC=135°，
∴∠D′DC=45°，
∵∠CD′D=90°，
∴△CD′D是等腰直角三角形，
∴CD′=DD′=CD，
∴AB=CD．
在△AME與△NFM中，
∵∠A=∠MNF=90°，∠AME=∠MFN=90°-∠NMF，
∴△AME∽△NFM，
∴==，
∴MN=2AE，
∴MD+DD′-ND′=2AE，
∵MD=AD=AB=×CD=CD，DD′=CD，ND′=FC，
∴CD+CD-FC=2AE，
∴8AE+4FC=3CD；

（3）解：如圖3，AE=FC=a，則CD=4AE+2FC=6a，
∴AM=DM=3a，AD=CD=6a，
在Rt△AME中，EM²=AM²+AE²，
∴EM=a，
由（1）得FM=2EM=2a．
在Rt△MEF中，tan∠MFE===tan∠EFN．
過N作NP⊥EF于P，設NP=x，則PF=2x，
∵BE=AB-AE=BC-FC=BF，∠B=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=45°，
在△ENP中，NE=，
∴NP=×==x=EP，
∵EF=EP+PF=3x=5=BE=×5a，
∴a=1，
∵EM²+FM²=EF²，
∴FM=2，
延長CE、DA相交于點R，
在Rt△AER中，∵AR∥BC，
∴∠R=∠ECB，
∵∠AER=∠BEC，
∴△AER∽△BEC，
∴===，
∴AR=a，
∵RM=AR+AM=a．
∵RM∥FC，
∴∠R=∠KCF，
∵∠RKM=∠CKF，
∴△RMK∽△CFK，
∴===，
∵MK+FK=FM=2，
∴MK=FM=．
分析：（1）過點F作FN⊥AD，垂足為N，先證明四邊形ABCD是正方形，再由兩角對應相等的兩三角形相似得出△AME∽△NFM，根據相似三角形的性質得出邊的關系，從而得出結論；
（2）過點C作CD′⊥AD于D′，過點F作FN⊥AD于N，則四邊形ABFN與四邊形FND′C都是矩形，D′C=NF=AB=AD，ND′=FC．證明△CD′D是等腰直角三角形，得出CD′=DD′=CD，AB=CD，再證明△AME∽△NFM，得到MN=2AE，即MD+DD′-ND′=2AE，然后將MD=CD，DD′=CD，ND′=FC代入，即可得出8AE+4FC=3CD；
（3）設AE=FC=a，則CD=4AE+2FC=6a，AM=DM=3a，AD=CD=6a，在Rt△AME中，由勾股定理求得EM=a，則FM=2a，在Rt△MEF中，根據正切函數的定義得到tan∠MFE===tan∠EFN．再過N作NP⊥EF于P，設NP=x，則PF=2x，證明△BEF是等腰直角三角形，得出∠BEF=45°，在△ENP中，求出NP==x=EP，由EF=EP+PF，得出a=1．在△EFM中由勾股定理求出FM=2，延長CE、DA相交于點R，由兩角對應相等的兩三角形相似得出△AER∽△BEC，根據相似三角形的性質得出AR=a，則RM=AR+AM=a，然后證明△RMK∽△CFK，得出==，進而求出MK=．
點評：本題考查了矩形、等腰直角三角形、正方形、相似三角形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數的定義，綜合性較強，難度較大．準確地作出輔助線，運用數形結合思想是解題的關鍵．