Question

如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為2，將線段OB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OC，連接BC．
（1）試判定四邊形OABC的形狀；
（2）求點(diǎn)O到BC的距離；
（3）以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O，根據(jù)⊙O與四邊形OABC四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求相應(yīng)r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）四邊形OABC為菱形．首先△OAB是等邊三角形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到OC=OB，而旋轉(zhuǎn)角為60°，由此可以得到四邊形OABC的形狀；
（2）如圖，過(guò)O作OD⊥BC于D，由于△OCB是等邊三角形，由此即可求出OD的長(zhǎng)度，也就求出了點(diǎn)O到BC的距離；
（3）根據(jù)（2）可以知道O到BC的距離，然后結(jié)合圖形即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）四邊形OABC為菱形，
∵△OAB是等邊三角形，將線段OB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OC，
∴OC=OB，
∴△OCB是等邊三角形，
∴四邊形OABC為菱形；

（2）如圖，過(guò)O作OD⊥BC于D，
∵△OCB是等邊三角形，OB=2，
∴DB=

1

2

OB，
∴OD=

3

，
即點(diǎn)O到BC的距離為

3

；

（3）當(dāng)0＜r＜

3

時(shí)，⊙O與四邊形OABC各邊共有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)r=

3

時(shí)，⊙O與四邊形OABC各邊共有4個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)

3

＜r＜2時(shí)，⊙O與四邊形OABC各邊共有6個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)r=2時(shí)，⊙O與四邊形OABC各邊共有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)r＞2時(shí)，⊙O與四邊形OABC各邊共有0個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題分別考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)也利用解直角三角形的知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的要求比較高．