Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(15,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,12),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6), 直線AB交y軸于點(diǎn)D, 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著y軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng), 同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著射線AB以每秒a個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

（1）求直線AB的解析式和CD的長(zhǎng).

（2）當(dāng)△PQD與△BDC全等時(shí),求a的值.

（3）記點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連結(jié)當(dāng)t=3,時(shí), 求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），14；（2）a的值為5.5或3.25或2.5；（3）.

【解析】

（1）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再令求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可得出CD的長(zhǎng)；

（2）先利用點(diǎn)坐標(biāo)求出BD、AD的長(zhǎng)，分點(diǎn)P在CD上和點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線上，再利用三角形全等的性質(zhì)求出DP、DQ的長(zhǎng)，最后利用線段的和差即可得；

（3）如圖4（見(jiàn)解析），連結(jié)BP，過(guò)點(diǎn)Q作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，先求出CP的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可推出，然后可求出BP的長(zhǎng)，從而可求出，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性可得，又根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

（1）設(shè)直線AB的解析式為

把點(diǎn)代入得

解得

故直線AB的解析式為

令，代入得

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

故；

（2）

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，點(diǎn)P只能與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)

則

解得；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線上，并且點(diǎn)P與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)

則

解得；

③如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線上，并且點(diǎn)P與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)

則

解得；

綜上，a的值為5.5或3.25或2.5；

（3）如圖4，連結(jié)BP，過(guò)點(diǎn)Q作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

，與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等

，即

∵點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)

是等腰直角三角形，且

設(shè)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，即

將代入得，

解得

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．