Question

【題目】(1)如圖1，將矩形折疊，使落在對角線上，折痕為，點(diǎn)落在點(diǎn) 處，若，則 ;

(2)小麗手中有一張矩形紙片，，.她準(zhǔn)備按如下兩種方式進(jìn)行折疊:

①如圖2，點(diǎn)在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，若，求的長;

②如圖3，點(diǎn)在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在射線上，折痕為，點(diǎn)，分別落在，處，若，求的長.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）①AG=;②

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)可得∠BAE＝∠CAE＝12°；

（2）①過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，可證四邊形DFHA是矩形，可得AD＝FH＝4，由勾股定理可求D1H＝3，由勾股定理可求AG的長；

②首先證明CK＝CH，利用勾股定理求出BH，可得AH，再利用翻折不變性，可知AH＝A1H，由此即可解決問題.

解：（1）∵∠DAC＝66°，

∴∠CAB＝24°

∵將矩形ABCD折疊，使AB落在對角線AC上，

∴∠BAE＝∠CAE＝12°

故答案為：12；

（2）如圖2，過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，

∵∠D＝∠A＝90°，FH⊥AB

∴四邊形DFHA是矩形

∴AD＝FH＝4，

∵將紙片ABCD折疊

∴DF＝D1F＝5，DG＝D1G，

∴D1H＝，

∴AD1＝2

∵AG2＋D1A2＝D1G2，

∴AG2＋4＝（4AG）2，

∴AG＝；

②∵DK＝，CD＝9，

∴CK＝9＝，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，

∴∠CKH＝∠AHK，

由翻折不變性可知，∠AHK＝∠CHK，

∴∠CKH＝∠CHK，

∴CK＝CH＝，

∵CB＝AD＝4，∠B＝90°，

∴在Rt△CDF中，BH＝，

∴AH＝ABBH＝，

由翻折不變性可知，AH＝A1H＝，

∴A1C＝CHA1H＝3．