Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．作DE⊥AC交邊AB或BC于點(diǎn)E，以DE為邊向右作正方形DEFG．設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）求AC的長(zhǎng)．

（2）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示線段DE的長(zhǎng)．

（3）當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，求t的值．

（4）設(shè)正方形DEFG與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm2），當(dāng)重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】(1)10cm;(2) 當(dāng)0≤t≤時(shí)，DE=t, 當(dāng)＜t≤10時(shí)，DE=（10﹣t）=﹣t+；(3) t= ;(4) 當(dāng)0＜t≤時(shí)，S== t2, 當(dāng)≤t＜10時(shí)，S=（10﹣t）2．

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)已知條件由“勾股定理”易得：AC=10cm；

（2）如圖1和圖2需分點(diǎn)E在AB上和BC上兩種情況，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求得對(duì)應(yīng)的DE的長(zhǎng)；

（3）如圖3，由已知易證△CGF∽△CBA，從而可用含“t”的式子表達(dá)出GC的長(zhǎng)，結(jié)合AD+DG+GC=BC=10及AD=t，DG=DE=t，即可求得對(duì)應(yīng)的t的值；

（4）結(jié)合（2）、（3）可知當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分就是正方形DEFG；當(dāng)≤t＜10時(shí)，重疊部分是四邊形DEMG；由已知條件分以上兩種情況進(jìn)行解答即可.

試題解析：

（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，

根據(jù)勾股定理得：AC=10cm；

（2）分兩種情況考慮：如圖1所示，

過(guò)B作BH⊥AC，

∵S△ABC=AB·BC=ACBH，

∴BH=，AH=，

∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABH，

∴，即 ，

解得：DE=，

則當(dāng)0≤t≤時(shí)，DE=；

如圖2所示，

同理得到△CED∽△CBH，

∴，即 ，

解得：DE=（10﹣t）=﹣，

則當(dāng)＜t≤10時(shí)，DE=（10﹣t）=﹣；

（3）如圖3所示，

如圖3，當(dāng)點(diǎn)F剛好落在BC邊上時(shí)，∵∠C=∠C，∠EGC=∠ABC=90°，

∴△FGC∽△ABC，

∴，即 ，

∴GC=，

∵AD+DG+GC=AC=10，

∴，解得：；

（4）如圖1所示，當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=DE2=；

如圖2所示，當(dāng)≤t＜10時(shí)，

∵EF∥CG，

∴△EFM∽△CGM∽△CBA，

∴，即 ，解得：FM=，

∴S=S正方形DEFG-S△EFM

=DE2-DE·FM=.