Question

（2012•清遠一模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中當y取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證梯形ABCD是等腰梯形，只需證△AMB≌△DMC．
（2）由△BMP∽△CQP，可得到BP與CQ的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）先利用二次函數(shù)求最值，求出y取最小值時x的值和y的最小值，從而確定P、Q的位置，判斷出△PQC的形狀．
解答：（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．（1分）
∵M是AD中點，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．（2分）
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）解：在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，
∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．（4分）
∴△BMP∽△CQP．
∴．（5分）
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．（6分）
∴．
∴y=x²-x+4．（7分）

（3）解：△PQC為直角三角形，
理由是：
∵y=（x-2）²+3，
∴當y取最小值時，x=PC=2．（8分）
∴P是BC的中點，MP⊥BC而∠MPQ=60°．
∴∠CPQ=30°．
∴∠PQC=90°．
∴△PQC為直角三角形．（9分）
點評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來．