Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，CB的延長線交過A、B、D三點的圓于點E．
（1）判斷線段AE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）若過A、B、D三點的圓記為⊙O，過E點作EF⊥AE于點E，與AC的延長線交于點F，且CD：CF=1：2，求：S_△BAE：S_△AEF的值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由于點D是AC的中點，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半知，BD=CD?∠CDB=∠DCB，又根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”知∠CBD=∠CAE，故∠CAE=∠ACE?AE=CE；
（2）由于CD：CF=1：2和CD=

1

2

AC，故有AC=CF，即點C是Rt△AEF的斜邊上的中點，有AC=CE，則可得△ACE是等邊三角形，即可求得∠FAE=∠AEC=60°，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得AB：EF=1：2，易證得△ABE∽△FEA，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得S_△BAE：S_△AEF的值．

解答：（1）答：AE=CE；
證明：連接BD，
∵點D是AC的中點，∠ABC=90°，
∴BD=CD=

1

2

AC，
∴∠CBD=∠DCB，
又∵四邊形ADBE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE；

（2）解：∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°；
∵CD：CF=1：2，CD=

1

2

AC，
∴AC=CF，
∴AC=CE，
由（1）知AE=CE，
∴AE=CE=AC，
即△ACE是等邊三角形，
∴∠FAE=∠AEC=60°，
∵∠ABE=90°，
∴在Rt△ABE中，sin60°=

AB

AE

=

3

2

，
在Rt△AEF中，tan60°=

EF

AE

=

3

，
∴AB：EF=1：2，
∵∠ABE=∠AEF=90°，∠AEB=∠EAF=60°，
∴△ABE∽△FEA，
∴S_△BAE：S_△AEF=1：4．

點評：此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．