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        1. 精英家教網(wǎng)在平面直角坐標(biāo)系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐標(biāo)軸上,且點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)C(-1,0),如圖所示:拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點(diǎn)B.
          (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
          (2)求拋物線的解析式;
          (3)在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
          分析:(1)根據(jù)題意,過點(diǎn)B作BD⊥x軸,垂足為D;根據(jù)角的互余的關(guān)系,易得B到x、y軸的距離,即B的坐標(biāo);
          (2)根據(jù)拋物線過B點(diǎn)的坐標(biāo),可得a的值,進(jìn)而可得其解析式;
          (3)首先假設(shè)存在,分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得答案.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過點(diǎn)B作BD⊥x軸,垂足為D,
          ∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,
          ∴∠BCD=∠CAO,(1分)
          又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
          ∴△BCD≌△CAO,(2分)
          ∴BD=OC=1,CD=OA=2,(3分)
          ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,1);(4分)

          (2)拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點(diǎn)B(-3,1),
          則得到1=9a-3a-2,(5分)
          解得a=
          1
          2
          ,
          所以拋物線的解析式為y=
          1
          2
          x2+
          1
          2
          x-2;(7分)

          (3)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形:
          ①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn);
          則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,(8分)
          過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸,
          ∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,
          ∴△MP1C≌△DBC.(10分)
          ∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得點(diǎn)P1(1,-1);(11分)
          ②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn);
          則過點(diǎn)A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,(12分)
          過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸,同理可證△AP2N≌△CAO,(13分)
          ∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得點(diǎn)P2(2,1),(14分)
          ③以A為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△ACP的頂點(diǎn)P有兩種情況.即過點(diǎn)A作直線L⊥AC,在直線L上截取AP=AC時(shí),點(diǎn)P可能在y軸右側(cè),即現(xiàn)在解答情況②的點(diǎn)P2
          點(diǎn)P也可能在y軸左側(cè),即還有第③種情況的點(diǎn)P3.因此,然后過P3作P3G⊥y軸于G,同理:△AGP3≌△CAO,
          ∴GP3=OA=2,AG=OC=1,
          ∴P3為(-2,3);
          經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)P1(1,-1)與點(diǎn)P2(2,1)都在拋物線y=
          1
          2
          x2+
          1
          2
          x-2上,點(diǎn)P3(-2,3)不在拋物線上.(16分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力,綜合性強(qiáng),能力要求極高.考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          2
          2

          (1)求拋物線的函數(shù)解析式;
          (2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式;
          (3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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          18、在平面直角坐標(biāo)系中,把一個(gè)圖形先繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為θ,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k得到一個(gè)新的圖形,我們把這個(gè)過程記為【θ,k】變換.例如,把圖中的△ABC先繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為2得到一個(gè)新的圖形△A1B1C1,可以把這個(gè)過程記為【90°,2】變換.
          (1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
          (2)若△OMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(-1,-2),則θ=
          0°(或360°的整數(shù)倍)
          ,k=
          2

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