Question

【題目】如圖1，在中，是的直徑，交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；

（2）若，試求的長(zhǎng)；

（3）如圖2，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）連接半徑，根據(jù)已知條件結(jié)合圓的基本性質(zhì)可推出，即，即可得證結(jié)論；

（2）設(shè)，根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程、解方程即可得到圓心角，再求得半徑，然后利用弧長(zhǎng)公式即可得解；

（3）由，設(shè)，然后根據(jù)已知條件利用圓的一些性質(zhì)、勾股定理以及三角形的不同求法分別表示出、，再利用平行線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)即可求得結(jié)論．

解：（1） 連結(jié)，如圖：

∵是的直徑

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵在圓上

∴是的切線．

（2）設(shè)

∵

∴

∴

∵在中，

∴

∴

∴

∵

∴

∴

連結(jié)，過作于點(diǎn)，如圖：

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)

∴

∴設(shè)

∴

∴

∴

∵在中，

∴

∵，

∴

∴

∴．

故答案是：（1）證明見解析（2）（3）