Question

如圖① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90^ｏ，AD⊥BC，垂足為D.

（1）S_△ABD =      .(直接寫出結(jié)果)

（2）如圖②，將△ABD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′D，設旋轉(zhuǎn)角為 ()，在旋轉(zhuǎn)過程中：

探究一：四邊形APDQ的面積是否隨旋轉(zhuǎn)而變化？說明理由

探究二：當的度數(shù)為多少時，四邊形APDQ是正方形？說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）S_△ABD=4，（2）① 四邊形APDQ的面積不會隨旋轉(zhuǎn)而變化，②當=45^ｏ時，四邊形ＡPDQ是正方形.

【解析】解：（1）S_△ABD=  S_△ABC= =4

（2）① 四邊形APDQ的面積不會隨旋轉(zhuǎn)而變化.

理由如下：

　　   在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90^ｏ

∠B=∠C=45^ｏ

∵AD⊥BC

∴∠BAD=∠DAC=45^ｏ

∴∠B=∠DAQ=∠BAD =45^ｏ

  BD=AD

    又∵∠BDP+∠ADP=90^ｏ

          ∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90^ｏ

        ∴∠BDP=∠ADQ

        ∴△BPD≌△AQD

        S_{四邊形APDQ}= S_△APD+ S_△AQD= S_△APD+ S_△BPD= S_△ABD =4

     ② 當=45^ｏ時，四邊形ＡPDQ是正方形.

　　　  理由如下：

由（１）知△ABD為等腰直角三角形.

當=45^ｏ時，DP⊥AB，即∠APD=90^ｏ

又∵∠A=90^ｏ，∠PDQ=90^ｏ

∴四邊形APDQ為矩形

又∵DP=AP=AB

∴四邊形APDQ是正方形.

（1）根據(jù)S_△ABD=  S_△ABC進行解答

（2）①四邊形APDQ的面積不會隨旋轉(zhuǎn)而變化，因為無論旋轉(zhuǎn)角為 ()怎樣旋轉(zhuǎn)，始終是△BPD≌△AQD，即四邊形APDQ的面積等于S_△ABD

②證得四邊形APDQ為矩形，又因為DP=AP=AB，即可得出結(jié)論