Question

平面上兩條直線AB、CD相交于點O，且∠BOD=150⁰（如圖），現(xiàn)按如下要求規(guī)定此平面上點的“距離坐標(biāo)”：
（1）點O的“距離坐標(biāo)”為（0，0）；
（2）在直線CD上，且到直線AB的距離為p（p＞0）的點的“距離坐標(biāo)”為（p，0）；在直線AB上，且到直線CD的距離為q（q＞0）的點的“距離坐標(biāo)”為（0，q）；
（3）到直線AB、CD的距離分別為p、q（p＞0，q＞0）的點的“距離坐標(biāo)”為（p，q）。
設(shè)M為此平面上的點，其“距離坐標(biāo)”為（m，n），根據(jù)上述對點的“距離坐標(biāo)”的規(guī)定，解決下列問題：
（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：
①滿足m=1且n=0的點的集合；
②滿足m=n的點的集合；
（2）若點M在過點O且與直線CD垂直的直線l上，求m與n所滿足的關(guān)系式。
（說明：圖中OI長為一個單位長）

Answer 1

（1）①如圖1中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂即為所求；②如圖2中，兩條角平分線即為所求

（2）

解：（1）①如圖1中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂即為所求；
②如圖2中，兩條角平分線即為所求。

（2）如圖3，過點M作MH⊥AB于點H。

則根據(jù)定義，MH=m，MO=n。
∵∠BOD=150⁰，∠DOM=90⁰（∵l⊥CD），
∴∠HOM=60⁰。
在Rt△MHO中，，
∴，即，即
∴ m與n所滿足的關(guān)系式為。
（1）①以點I為圓心，OI為半徑畫圓交AB于點E；以點O為圓心，OE為半徑畫圓交CD于點F₁，F(xiàn)₂，則F₁，F(xiàn)₂即為所求。
由作法知，OF₁=2OI=2，由∠BOD=150⁰知∠EOF₁=30⁰，根據(jù)含30⁰角直角三角形中30⁰角所對邊是斜邊一半的性質(zhì)，得點F₁到AB的距離m =1，同時點F₁在CD上，即n=0。同理，F(xiàn)₂的證明。
②分別作∠BOD和∠BOC的平分線，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，兩角平分線上的點滿足m=n，故兩條角平分線即為所求。
（2）由已知和銳角三角函數(shù)定義即可得出m與n所滿足的關(guān)系式。