Question

（2012•梅州）如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2

3

）、D（0，3

3

），射線l過(guò)點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是l和x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)，滿足∠PQO=60°．

（1）①點(diǎn)B的坐標(biāo)是

（6，2

3

）

；②∠CAO=

30

度；③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（3，3

3

）

；（直接寫出答案）
（2）設(shè)OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)，③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案；
（3）分別從當(dāng)0≤x≤3時(shí)，當(dāng)3＜x≤5時(shí)，當(dāng)5＜x≤9時(shí)，當(dāng)x＞9時(shí)去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）①∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2

3

），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，2

3

）；

②∵tan∠CAO=

OC

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠CAO=30°；

③如下圖：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3

3

），
∴PE=3

3

，
∴AE=

PE

tan60°

=3，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3

3

）；

故答案為：①（6，2

3

），②30，③（3，3

3

）；


（2）情況①：MN=AN=3，
則∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°，
∵∠PQO=60°，
即∠MQO=60°，
∴點(diǎn)N與Q重合，
∴點(diǎn)P與D重合，
∴此時(shí)m=0，

情況②，如圖AM=AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸；
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=（OA-IQ-OI）•sin60°=

3

2

（3-m）=

1

2

AM=

1

2

AN=

3

2

，
可得

3

2

（3-m）=

3

2

，
解得：m=3-

3

，

情況③AM=NM，此時(shí)M的橫坐標(biāo)是4.5，
過(guò)點(diǎn)P作PK⊥OA于K，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥OA于G，
∴MG=

3

2

，
∴QK=

PK

tan60°

=

3 3

3

=3，GQ=

MG

tan60°

=

1

2

，
∴KG=3-0.5=2.5，AG=

1

2

AN=1.5，
∴OK=2，
∴m=2，


（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，
如圖，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由題意可知直線l∥BC∥OA，
可得

EF

OQ

=

PE

PO

=

DC

DO

=

3

3 3

=

1

3

，
EF=

1

3

（3+x），
此時(shí)重疊部分是梯形，其面積為：
S_梯形=

1

2

（EF+OQ）•OC=

4 3

3

（3+x），

當(dāng)3＜x≤5時(shí)，S=S_梯形-S_△HAQ=S_梯形-

1

2

AH•AQ=

4 3

3

（3+x）-

3

2

（x-3）²，

當(dāng)5＜x≤9時(shí)，
∵BC∥PD，
∴△OCE∽△OPD，
∴CE：PD=2：3，
∴CE=

2

3

x，
∴BE=BC-CE=6-

2

3

x，
∴S=

1

2

（BE+OA）•OC=

3

（12-

2

3

x），

當(dāng)9＜x時(shí)，S=

1

2

OA•AH=

54 3

x

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．