Question

（2013•無錫）如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止，點(diǎn)Q從A與P同時(shí)出發(fā)，沿邊AD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．△APQ的面積S（cm²）與t（s）之間函數(shù)關(guān)系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出．
（1）求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度；
（2）求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式；
（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象中E點(diǎn)所代表的實(shí)際意義求解．E點(diǎn)表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)的情形，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3s，可得AB=6cm；再由S_△APQ=

9 3

2

，可求得AQ的長度，進(jìn)而得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）函數(shù)圖象中線段FG，表示點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D之后停止運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的情形．如答圖2所示，求出S的表達(dá)式，并確定t的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示，求出t的值；
當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示，求出t的值．

解答：解：（1）由題意，可知題圖2中點(diǎn)E表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)的情形，所用時(shí)間為3s，則菱形的邊長AB=2×3=6cm．
此時(shí)如答圖1所示：

AQ邊上的高h(yuǎn)=AB•sin60°=6×

3

2

=3

3

cm，
S=S_△APQ=

1

2

AQ•h=

1

2

AQ×3

3

=

9 3

2

，解得AQ=3cm，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：3÷3=1cm/s．

（2）由題意，可知題圖2中FG段表示點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形．如答圖2所示：

點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D所需時(shí)間為：6÷1=6s，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C所需時(shí)間為12÷2=6s，至終點(diǎn)D所需時(shí)間為18÷2=9s．
因此在FG段內(nèi)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，且時(shí)間t的取值范圍為：6≤t≤9．
過點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，則PE=PD•sin60°=（18-2t）×

3

2

=-

3

t+9

3

．
S=S_△APQ=

1

2

AD•PE=

1

2

×6×（-

3

t+9

3

）=-3

3

t+27

3

，
∴FG段的函數(shù)表達(dá)式為：S=-3

3

t+27

3

（6≤t≤9）．

（3）菱形ABCD的面積為：6×6×sin60°=18

3

．
當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示．
此時(shí)△APQ的面積S=

1

2

AQ•AP•sin60°=

1

2

t•2t×

3

2

=

3

2

t²，
根據(jù)題意，得

3

2

t²=

1

6

×18

3

，
解得t=

6

s；

當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示．
此時(shí)，有S_梯形ABPQ=

5

6

S_菱形ABCD，即

1

2

（2t-6+t）×6×

3

2

=

5

6

×18

3

，
解得t=

16

3

s．
∴存在t=

6

和t=

16

3

，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分．

點(diǎn)評：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、菱形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積等知識點(diǎn)．解題關(guān)鍵是深刻理解動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動(dòng)點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)過程．