Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

3

4

x+6分別交于x軸，y軸于B、A兩點，D、E分別是OA、OB的中點，點P從點D出沿DE方向運動，過點P作PQ⊥AB于Q，過點Q作QR∥OA交OB于R，當點Q與B點重合時，點P停止運動．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求PQ的長度；
（3）是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0求出y的值得到點A的坐標，令y=0求出x的值得到點B的坐標；
（2）過點D作DF⊥AB于F，根據(jù)點A、B的坐標求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，再求出AD，然后利用∠OAB的正弦列式求解即可得到DF，再判斷出DE∥AB，然后根據(jù)平行線間的距離相等可得PQ=DF；
（3）分①PQ=QR時，利用∠ABO的正切值列式求解得到BR，再求出OR，然后寫出點R的坐標；②PQ=PR時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)利用∠PQR的余弦列式求出QR，再利用∠ABO的正切值列式求解得到BR，再求出OR，然后寫出點R的坐標；③PR=QR時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)點R在PQ的垂直平分線上，即BE的中點，求出BR，再求出OR，然后寫出點R的坐標．

解答：解：（1）令x=0，則y=6，
令y=0，則-

3

4

x+6=0，
解得x=8，
所以，點A（0，6），B（8，0）；

（2）過點D作DF⊥AB于F，
∵A（0，6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=

62+82

=10，
∵D、E分別是OA、OB的中點，
∴AD=

1

2

OA=

1

2

×6=3，DE∥AB，
在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠OAB=3×

8

10

=

12

5

，
∵PQ⊥AB，
∴PQ=DF=

12

5

；

（3）①PQ=QR時，BR=QR÷tan∠ABO=

12

5

÷

3

4

=

16

5

，
∴OR=OB-BR=8-

16

5

=

24

5

，
點R的坐標為（

24

5

，0）；
②PQ=PR時，∵PQ⊥AB，
∴∠PQR+∠BQR=90°，
∵QR∥OA，
∴QR⊥OB，
∴∠BQR+∠ABO=90°，
∴∠PQR=∠ABO，
∴QR=2（PQ•cos∠PQR）=2（

12

5

×

8

10

）=

96

25

，
∴BR=QR÷tan∠ABO=

96

25

÷

3

4

=

128

25

，
∴OR=OB-BR=8-

128

25

=

72

25

，
點R的坐標為（

72

25

，0）；
③PR=QR時，點R為PQ的垂直平分線與OB的交點，
∴BR=

1

2

BE=

1

2

×（

1

2

×8）=2，
∴OR=OB-BR=8-2=6，
點R的坐標為（6，0）；
綜上所述，點R為（

24

5

，0）或（

72

25

，0）或（6，0）時，△PQR為等腰三角形．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要考查了直線與坐標軸交點坐標的求解，平行線間的距離相等的性質(zhì)，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，難點在于（3）要分情況討論．