Question

已知：如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，D、E分別是AC、AB的中點，點F在BC延長線上，且∠CDF=∠A．
（1）求證：四邊形DECF是平行四邊形；
（2）

BC

AB

=

3

5

，四邊形EBFD的周長為22，求四邊形DECF的面積．（注：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．）

Answer 1

分析：（1）因為D、E分別是AC、AB的中點，所以ED∥BC，又因為點F在BC延長線上，所以ED∥CF，則可求證△ADE≌△CDE，所以∠A=∠ECD，則有EC∥DF，故四邊形DECF是平行四邊形；
（2）因為AE=EC=EB=

1

2

AB，所以ED=CF=

1

2

BC，又因為四邊形EBFD的周長為22，所以可以求出DE的值，再根據(jù)四邊形的面積公式求解．

解答：（1）證明：∵AE=EB，AD=DC，
∴ED∥BC．
∵點F在BC延長線上，
∴ED∥CF．
∵AD=DC，ED=DE，∠ADE=∠EDC，
∴△ADE≌△CDE．
∴∠A=∠ECD．
∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠ECD．
∴EC∥DF．
∴四邊形DECF是平行四邊形．

（2）∵AE=EC=EB=

1

2

AB，ED∥CF，EC∥DF，D、E分別是AC、AB的中點，
∴ED=CF=

1

2

BC．
∵EBFD周長為22，
∴2BC+AB=22．
∵

BC

AB

=

3

5

，
∴AB=

5

3

BC．
∴（2+

5

3

）BC=22．
∴BC=6．EC=5
∴ED=3．∴DC=4，
∴四邊形DECF的面積=3×4=12．

點評：此題考查平行四邊形的判定方法和面積公式．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．