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        1. 已知,如圖,a,b,c分別是△ABC中∠A,∠B,∠C的對(duì)邊,P為BC上一點(diǎn),以AP為直徑的圓O交AB于D,PE∥AB交AC于E,b,c是方程x2+kx+9=0的兩根,且(b2+c2)(b2+c2-14)-72=0,銳角B的正弦值等于
          2
          3
          2

          (1)求k的值;
          (2)設(shè)BD=x,求四邊形ADPE的面積為S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)問(wèn)圓O是否能與BC相切?若能請(qǐng)求出x的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(1)求出b2+c2=18,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出b+c=-k,bc=9,代入得出方程(-k)2-2×9=18,求出即可;
          (2)求出方程的解,得出AB=AC=3,根據(jù)sinB=
          PD
          PB
          =
          2
          2
          3
          ,設(shè)PD=2
          2
          y,PD=3y,在Rt△BDP中,由勾股定理求出y=x,得出PD=2
          2
          x,PB=3x,求出BC,根據(jù)△CPE∽△CBA,得出比例式求出PE,代入S=
          1
          2
          (PE+AD)×PD求出即可;
          (3)根據(jù)圓的切線的性質(zhì),當(dāng)∠APB=90°時(shí),圓O能與BC相切,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出BD=DC=
          1
          2
          ,根據(jù)PB=3x=
          1
          2
          求出即可.
          解答:(1)解:∵(b2+c2)(b2+c2-14)-72=0,
          ∴(b2+c22-14(b2+c2)-72=0,
          解得:b2+c2=18,b2+c2=-4(舍去),
          ∵b,c是方程x2+kx+9=0的兩根,
          ∴b+c=-k,bc=9,
          ∴b2+c2=(b+c)2-2bc=18,
          即(-k)2-2×9=18,
          解得:k=6,k=-6,
          ∵b+c=-k,c、b是三角形的邊長(zhǎng),
          ∴k=6舍去,
          即k=-6;

          (2)解:把k=-6代入方程得:x2-6x+9=0,
          解得:x1=x2=3,
          即b=c=3,
          AB=AC=3,
          ∵AP是直徑,
          ∴∠ADP=90°=∠BDP,
          ∵sinB=
          2
          3
          2
          ,
          PD
          PB
          =
          2
          2
          3
          ,
          設(shè)PD=2
          2
          y,BD=3y,在Rt△BDP中,由勾股定理得:PD2+BD2=PB2
          (2
          2
          y)
          2
          +x2=(3y)2,
          解得:y=x,
          PD=2
          2
          x,PB=3x,
          過(guò)A作AN⊥BC于N,
          ∵AB=3,sinB=
          AN
          AB
          =
          2
          3
          2
          ,
          ∴AN=2
          2
          ,
          由勾股定理得:BN=1,
          ∵AB=AC,AN⊥BC,
          ∴CN=BN=1,
          BC=2,
          ∵PE∥AB,
          ∴△CPE∽△CBA,
          PE
          BA
          =
          CP
          BC
          ,
          PE
          3
          =
          2-3x
          2
          ,
          ∴PE=-
          9
          2
          x+3,
          ∴四邊形ADPE的面積S=
          1
          2
          (PE+AD)×PD=
          1
          2
          ×(
          9
          2
          x+3+3-x)×2
          2
          x=
          7
          2
          2
          x2+3
          2
          x,
          答:四邊形ADPE的面積為S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是S=
          7
          2
          2
          x2+3
          2
          x.

          (3)解:圓O能與BC相切,
          理由是:根據(jù)圓的切線的性質(zhì),當(dāng)∠APB=90°時(shí),圓O能與BC相切,
          ∵AP是直徑,
          ∴∠ADP=90°,
          ∵AC=AB=3,BC=2,
          ∴BD=DC=1,
          由(2)知:PB=3x=1,
          x=
          1
          3

          答:圓O能與BC相切,x的值是
          1
          3
          點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,切線的性質(zhì),梯形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          2007年5月17日我市榮獲“國(guó)家衛(wèi)生城市稱號(hào)”.在“創(chuàng)衛(wèi)”過(guò)程中,要在東西方向M、N兩地之間修建一條道路.已知:如圖C點(diǎn)周圍180m范圍內(nèi)為文物保護(hù)區(qū),在MN上點(diǎn)A處測(cè)得C在A的北偏東60°方向上,從A向東走500m到達(dá)B處精英家教網(wǎng),測(cè)得C在B的北偏西45°方向上.
          (1)NM是否穿過(guò)文物保護(hù)區(qū)?為什么?(參考數(shù)據(jù):
          3
          ≈1.732)
          (2)若修路工程順利進(jìn)行,要使修路工程比原計(jì)劃提前5天完成,需將原定的工作效率提高25%,則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工作需要多少天?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          11、已知,如圖,正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),分別以A、B為圓心的圓與x軸相切,則圖中兩個(gè)陰影部分面積的和為
          π

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知,如圖,∠1=∠2,
           
          .求證:AB=AC.
          (1)在橫線上添加一個(gè)使命題的結(jié)論成立的條件;
          (2)寫出證明過(guò)程.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知,如圖,直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形ABCD,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),BC=2AB,P為
          AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合),以點(diǎn)P為圓心作⊙P與對(duì)角線AC相切于點(diǎn)F,過(guò)P、F作直線L,交BC邊于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1位置時(shí),直線L恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,此時(shí)直線的解析式是y=2x+1,
          (Ⅰ)求BC、AP1的長(zhǎng);
          (Ⅱ)設(shè)AP=m,梯形PECD的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量m的取值范圍;
          (Ⅲ)以點(diǎn)E為圓心作⊙E與x軸相切,探究并猜想:⊙P和⊙E有哪幾種位置關(guān)系,并求出AP相應(yīng)的取值范圍.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知:如圖,拋物線y=-
          3
          3
          x2-
          2
          3
          3
          x+
          3
          的圖象與x軸分別交于A,B兩點(diǎn),與y軸交精英家教網(wǎng)于C點(diǎn),⊙M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A、C,點(diǎn)D是劣弧
          OA
          上一動(dòng)點(diǎn)(D點(diǎn)與A、O不重合).
          (1)求拋物線的頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
          (2)求⊙M的面積;
          (3)連CD交AO于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CD至G,使FG=2,試探究,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),直線GA與⊙M相切,并請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案