Question

如圖，PA為⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，PBC為割線(xiàn)，∠APC的平分線(xiàn)PF交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，　　
（1）求證：AE=AF；　
（2）若PB∶PA=1∶2，M是弧BC上的一點(diǎn)，AM交BC于D且PD=DC，試確定M點(diǎn)在弧BC上的位置，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）∵PA是切線(xiàn)，A是切點(diǎn)，　 ∴∠PAB=∠C， 又PF是∠APC的平分線(xiàn)，　　 ∴∠1=∠2，∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFP=∠C+∠2， ∴∠AEF=∠AFP，　　 ∴AE=AF。 （2）設(shè)PB=k，則PA=2k（k＞0）， ∴PA2=PB·PC，4k2=k·PC，PC=4k， ∵PD=DC=2k，　　 在△APD中，PA=PD，∠1=∠2， ∴PF⊥AM；　 在△AEF中，由（1）得AE=AF， ∴∠BAM=∠MAC， ∴=，即點(diǎn)M是的中點(diǎn)。