Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E，過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，交BC的延長線于F．

（1）求證：FE是⊙O的切線；

（2）若FE＝4，FC＝2，求⊙O的半徑及CG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CG=．

【解析】分析: （1）證明OE是△ABC的中位線，得出OE∥AC，再由已知條件得出FE⊥OE，即可得出結(jié)論；

（2）由切割線定理求出直徑，得出半徑的長，由平行線得出三角形相似，得出比例式，即可得出結(jié)果.

詳解:

（1）證明：連接CE，

∵BC是直徑，

∴∠BEC=90°，

∴CE⊥AB；

又∵AC=BC，

∴AE=BE．

連接OE，

∵BE=AE，OB=OC，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE∥AC，AC=2OE=6．

又∵EG⊥AC，

∴FE⊥OE，

∴FE是⊙O的切線．

(2)∵EF是⊙O的切線，∠CEF+∠CEO=900,且BC是直徑

∴∠BEO+∠CEO=900

∴∠CEF=∠BEO,∠F為公共角，

∴ΔCEF∽ΔEBF

∴FE2=FCFB．

設(shè)FC=x，則有2FB=16，

∴FB=8，

∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，

∴OB=OC=3，即⊙O的半徑為3；

∴OE=3，

∵OE∥AC，

∴△FCG∽△FOE，

∴，即，

解得：CG=．

點(diǎn)睛: 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線的判定、切割線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的判定，由三角形中位線定理得出OE∥AC是解決問題的關(guān)鍵.