Question

如圖，將直角梯形OABC置于直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，且A、B、C的坐標(biāo)分別是（8，0），（5，k），（0，k），在OA邊上取動點(diǎn)P，連接BP，作PD⊥BP交y軸正半軸于點(diǎn)D，設(shè)OP=x，OD=y．
（1）當(dāng)k=4時，
①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若△APB是等腰三角形時，求y的值；
③點(diǎn)D能否與C點(diǎn)重合，若存在，求出相應(yīng)x的值，若不存在，請說明理由；
（2）當(dāng)k在什么范圍內(nèi)，存在點(diǎn)D，使得PD經(jīng)過點(diǎn)C？（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）①可過B作BE⊥OA于E，根據(jù)相似三角形POD和BEB得出的關(guān)于OP、OD、BE、PE的比例關(guān)系式得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
②本題要分類求解：
一：AB=AP，可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE的長，即可求出PE和OP的長，也就求出了y的值．
二：AB=BP，此時PE=AE，即BC-OP=OA-BC，據(jù)此可求出OP的長
三：PB=PA，那么PB=PA=8-y，可在直角三角形BPE中，用勾股定理求出y的值
③D、C重合時，y=OC=4，將其代入①的函數(shù)中，如果得出的方程無解則說明D、C不重合，如果有解，得出的x的值就是所求．
（2）在運(yùn)動的過程中，若PD經(jīng)過點(diǎn)C，則∠CPB=90°，那么以BC為直徑的圓會與AO相交或相切，為此k≤

1

2

BC．

解答：解：
（1）當(dāng)k=4時，B（5，4），C（0，4）；
①過B作BE⊥OA于E，則△DPO∽△PBE，
∴

OD

OP

=

PE

BE

，
即

x

y

=

4

5-y

．
∴y=-

1

4

x²+

5

4

x．
②當(dāng)BP=AB時，AE=PE，
即5-y=8-5，得y=2．
當(dāng)AP=AB時，在直角三角形ABE中，AE=3，BE=4，根據(jù)勾股定理有AB=PA=5，
∴PE=5-3=2，
因此OP=BC-PE=2，即y=3．
當(dāng)AP=BP時，在直角三角形BPE中，BP=AP=8-y，BE=4，PE=5-y．
根據(jù)勾股定理有：
（8-y）²=16+（5-y）²，
解得y=

23

6

．
③點(diǎn)D不能與C點(diǎn)重合．
令y=4，得-

1

4

x²+

5

4

x=4，此方程無實(shí)根．
因此點(diǎn)D不能C點(diǎn)重合．

（2）在滿足0＜k≤2.5時，存在點(diǎn)D，使得PD經(jīng)過C．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識．綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．