Question

如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，A、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、C（0，8），CB=4，D為OA中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的線路移動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒，移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求AB的長(zhǎng)，并求當(dāng)PD將梯形COAB的周長(zhǎng)平分時(shí)t的值，并指出此時(shí)點(diǎn)P在哪條邊上；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△APD的面積為S，試寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；
（3）幾秒后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)？

Answer 1

分析：（1）題目給出了B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)出直線BC的解析式，應(yīng)用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）可根據(jù)四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積，列出方程并解出方程即可；
（3）要根據(jù)P的位置在不同邊的具體情況利用相關(guān)的知識(shí)寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式及取值范圍．

解答：解：（1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，8），AB=

(10-4)2+(0-8)2

=10，（1分）
由5+t=

10+10+4+8

2

，得t=11．（1分）
此時(shí)點(diǎn)P在CB上；（1分）

（2）解法一：作OF⊥AB于F，BE⊥OA于E，DH⊥AB于H，
則BE=OC=8．
∵AE=OA-BC=10-4=6，
∴AB=

BE2+AE2

=10，
∴AB=OA，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF=BE=8，DH=4．（1分）
∴S=

1

2

×4×t=2t（0＜t＜10）；（1分）
解法二
∵

S△APD

S△ABD

=

AP

AB

，∴

S

1 2 ×5×8

=

t

10

，（1分）
即S=2t（0＜t≤10）；（1分）

（3）點(diǎn)P只能在AB或OC上，
（�。┊�(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．
由S_△APD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此時(shí)t=7．
由(10-x)2+(

28

5

)2=49，得x=

29

5

．
即在7秒時(shí)有點(diǎn)P1(5

4

5

，5

3

5

)；（1分）
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）．
由S_△OPD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此時(shí)t=14+(8-

28

5

)=16

2

5

．
即在16

2

5

秒時(shí)，有點(diǎn)P2(0，5

3

5

)．（1分）
故在7秒時(shí)有點(diǎn)P1(5

4

5

，5

3

5

)，在16

2

5

秒時(shí)有點(diǎn)P2(0，5

3

5

)，使PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形及一次函數(shù)的綜合運(yùn)用；做題時(shí)要認(rèn)真理解題意，找出等量關(guān)系，而分類(lèi)討論是正確解答本題的關(guān)鍵．