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        1. 【題目】某同學(xué)在研究二次函數(shù)及其圖像性質(zhì)的問(wèn)題時(shí),發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論:

          ①拋物線 y = ax 2 2x + 3a ≠0) ,不論 a 為何值時(shí),它的頂點(diǎn)都在某條直線上;

          ②拋物線 y = ax 2 2x + 3a ≠0),其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少,縱坐標(biāo)增加得到A點(diǎn),若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加,縱坐標(biāo)增加,得到B點(diǎn),則A,B兩點(diǎn)一定在拋物線y = ax 2 2x + 3上.

          1)請(qǐng)你幫忙求出拋物線 y = ax 2 2x + 3的頂點(diǎn)所在直線的解析式,并證明結(jié)論②是正確的;

          2)問(wèn)題(1)中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn),你能找出它來(lái)嗎,并說(shuō)明理由;

          3)你能把結(jié)論①或②(選擇其中之一)推廣到一般情況嗎,請(qǐng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述你的成 果,并給予嚴(yán)格的證明.

          【答案】1,證明見(jiàn)解析;(2)(0,3),理由見(jiàn)解析;(3)①的推廣:若b、c是常數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),拋物線的頂點(diǎn)在直線上;②的推廣:拋物線,將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少,縱坐標(biāo)增加,所得到的兩個(gè)點(diǎn)一定仍在拋物線上;證明見(jiàn)解析.

          【解析】

          1)首先將拋物線y=ax2+2x+3轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,寫(xiě)出用a表示的頂點(diǎn)坐標(biāo),消去a寫(xiě)出y關(guān)于x的表達(dá)式;

          2)觀察(1)中的頂點(diǎn)坐標(biāo),因?yàn)?/span>,即橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),即可求得結(jié)果;

          3)首先寫(xiě)出拋物線的一般形式,再轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加

          代入一般式,驗(yàn)證縱坐標(biāo)也增加.

          解:(1)方法一:

          當(dāng)時(shí),的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

          當(dāng)時(shí),的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

          設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在直線上,

          (1,2),(1,4)代入,得:

          ,解得:,

          所以,

          即拋物線的頂點(diǎn)在直線;

          方法二:

          易知的頂點(diǎn)是,

          ,

          消去a得:,

          即拋物線的頂點(diǎn)在直線;

          證明:拋物線的頂點(diǎn)是,

          由題意得:A(0,3),B(,3)

          當(dāng)x=0時(shí),y=3,則點(diǎn)A在拋物線上,

          當(dāng)x=時(shí),,則點(diǎn)B拋物線上,

          2)直線上有一點(diǎn)(0,3)不是該拋物線的頂點(diǎn),

          拋物線的頂點(diǎn)是,

          當(dāng)時(shí),橫坐標(biāo),即(0,3)不是拋物線的頂點(diǎn);

          3)①的推廣

          b、c是常數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),拋物線的頂點(diǎn)在直線.

          當(dāng)時(shí),則的頂點(diǎn)為

          當(dāng)時(shí),則的頂點(diǎn)為,

          將它們代入得:

          解得:

          則直線為,

          事實(shí)上,時(shí),

          ,

          即拋物線頂點(diǎn)在直線上;

          ②的推廣

          猜想:拋物線y = ax 2 2x + 3a ≠0) ,將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少,縱坐標(biāo)增加,所得到的兩個(gè)點(diǎn)一定仍在拋物線上.

          證明:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,

          將其橫坐標(biāo)增加或減少,縱坐標(biāo)增加,得到

          ,

          代入

          =

          =

          ∴點(diǎn)A在拋物線上,同理可證點(diǎn)B也在拋物線上.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          1)求的進(jìn)價(jià)分別是每個(gè)多少元?

          2)該玩具店共購(gòu)進(jìn)了兩類(lèi)玩具共個(gè),若玩具店將每個(gè)類(lèi)玩具定價(jià)為元出售,每個(gè)類(lèi)玩具定價(jià)元出售,且全部售出后所獲得的利潤(rùn)不少于元,則該淘寶專(zhuān)賣(mài)店至少購(gòu)進(jìn)類(lèi)玩具多少個(gè)?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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          1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

          2)若跳跳家的汽車(chē)油箱中的油量低于5升時(shí),儀表盤(pán)會(huì)亮起黃燈警報(bào). 要使郵箱中的存油量不低于5升,跳跳爸爸至多能夠行駛多少千米就要進(jìn)加油站加油?

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          (1)如圖1,當(dāng)ABC=90°時(shí),OEF的形狀是 ;

          (2)如圖2,當(dāng)ABC=60°時(shí),請(qǐng)判斷OEF的形狀,并說(shuō)明理由;

          (3)在(1)的條件下,將MON的頂點(diǎn)移到AO的中點(diǎn)O′處,MO′N(xiāo)繞點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn),仍滿足MO′N(xiāo)+BCD=180°,射線O′M交直線BC于點(diǎn)E,射線O′N(xiāo)交直線CD于點(diǎn)F,當(dāng)BC=4,且時(shí),直接寫(xiě)出線段CE的長(zhǎng).

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          1)求二次函數(shù)表達(dá)式;

          2)若點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo);

          3)在拋物線上(下方)是否存在點(diǎn),使?若存在,求出點(diǎn)軸的距離;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          求此拋物線的解析式;

          若點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn).使的面積相等?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          1)求去年該農(nóng)家樂(lè)餐飲和住宿的收入各為多少萬(wàn)元?

          2)今年該村村民再投入了10萬(wàn)元,增設(shè)了土特產(chǎn)的實(shí)體銷(xiāo)售和網(wǎng)上銷(xiāo)售項(xiàng)目并實(shí)現(xiàn)盈利,村民在接受記者采訪時(shí)說(shuō),預(yù)計(jì)今年餐飲和住宿的收入比去年還會(huì)有10%的增長(zhǎng).這兩年的總收入除去所有投資外還能獲得不少于10萬(wàn)元的純利潤(rùn),請(qǐng)問(wèn)今年土特產(chǎn)銷(xiāo)售至少收入多少萬(wàn)元?

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          A.B.C.D.

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