Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C，AD⊥l，垂足是D．求證：
（1）∠ACD=∠ABC；
（2）AC平分∠DAB．

Answer 1

分析：（1）連接OC，易得OC∥AD，根據(jù)平行線的性質就可以得到∠DAC=∠ACO，再根據(jù)OA=OC得到∠ACO=∠CAO，因為∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，
所以∠ACD=∠ABC；
（2）連接OC，易得OC∥AD，根據(jù)平行線的性質就可以得到∠DAC=∠ACO，再根據(jù)OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以證出結論．

解答：證明：（1）連接OC，
∵直線l與⊙O相切于點C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
證明：（2）連接OC，
∵直線l與⊙O相切于點C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．

點評：本題主要考查了切線的判定定理，常用輔助線是連接過切點的半徑，利用切線的性質解決問題．