Question

如圖，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點A作AE∥BC，過點D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點O、點E，連結EC。

(1)求證：AD=EC；

(2)當∠BAC=Rt∠時，求證：四邊形ADCE是菱形；

 

Answer 1

 (1)解法1

   證明：∵DE∥AB，AE∥BC，

         ∴四邊形ABDE是平行四邊形，

         ∴AE∥BD，且AE=BD

         又∵AD是BC邊上的中線，

         ∴BD=CD

         ∴AE∥CD，且AE=CD

         ∴四邊形ADCE是平行四邊形

         ∴AD=CE

       解法2

    證明：∵DE∥AB，AE∥BC

          ∴四邊形ABDE是平行四邊形，∠B=∠EDC

          ∴AB=DE

          又∵AD是BC邊上的中線

          ∴BD=CD

          ∴△ABD≌△EDC(SAS)

          ∴AD=EC

  (2)解法1

     證明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜邊BC上的中線，

           ∴AD=BD=CD

           又∵四邊形ADCE是平行四邊形

           ∴四邊形ADCE是菱形

     解法2

     證明：∵DE∥AB，∠BAC=Rt∠，

           ∴DE⊥AC

           又∵四邊形ADCE是平行四邊形

           ∴四邊形ADCE是菱形

     解法3

     證明：∵∠BAC=Rt∠，AD是斜邊BC上的中線，

           ∴AD=BD=CD

           又∵AD=EC

           ∴AD=CD=CE=AE

           ∴四邊形ADCE是菱形

  (3)解法1

     解：∵四邊形ADCE是菱形

         ∴AO=CO，∠ADO=90°,

          又∵BD=CD

         ∴OD是△ABC的中位線，則

         ∵AB=AO

         ∴

         ∴在Rt△AOD中，

     解法2

      解：∵四邊形ADCE是菱形

          ∴AO=CO=，AD=CD，∠AOD=90°，

          ∵AB=AO

          ∴AB=

          ∴在Rt△ABC中，

          ∵AD=CD，

          ∴∠DAC=∠DCA

          ∴