Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系，直線y=-（x-6）與x軸、y軸分別相交于A、D兩點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，現(xiàn)將△AOB沿AB翻折180°，使點(diǎn)O剛好落在直線AD的點(diǎn)C處．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)N是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），S_△NBD=S₁，S_△NOA=S₂，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，S₁•S₂的值最大，并求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為直角三角形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并選擇一個(gè)寫出其求解過程；若不存在，簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，得x=6；
令x=0，得y=8．
所以A（6，0），D（0，8）．
并且有AD=10．
∵將△AOB沿AB翻折180°，使點(diǎn)O剛好落在直線AD的點(diǎn)C處，
∴AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．
∵∠D=∠D，∠DCB=∠O=90°，
∴△DBC∽△DAO．
∴DC：DO=DB：DA，
即4：8=DB：10，
∴DB=5．

（2）設(shè)N（x，y）．
s₁=×5•x=x，s₂=×6•y=3y，
s₁•s₂=x•3y=xy=•（-+8）=-10x²+60x．
當(dāng)x=3時(shí)最大值為90．
則y=-（x-6）=4，
∴N（3，4），
∵A（6，0），D（0，8）．
∴N是AD的中點(diǎn)．

（3）∵△MAC為直角三角形，
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°．
若∠MCA=90°，則M與B重合，因?yàn)锽D=5，所以M（0，3）；
若∠MAC=90°，則△AMD∽△OAD，
∴DM：AD=AD：OD，
∴DM：10=10：8．
∴DM=12.5，OM=12.5-8=4.5，
∴M（0，-4.5）．
分析：（1）因?yàn)橹本�y=-（x-6）與x軸、y軸分別相交于A、D兩點(diǎn)，所以可求A（6，0），D（0，8），并且有AD=10．
根據(jù)將△AOB沿AB翻折180°，使點(diǎn)O剛好落在直線AD的點(diǎn)C處，可得AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．并且可得到三角形DBC∽三角形DAO．利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系即可求出4：8=DB：10，DB=5．
（2）可設(shè)N（x，y）．
因?yàn)閟₁=×5•x=x，s₂=×6•y=3y，
s₁•s₂=x•3y=xy=•（-+8）=-10x²+60x，
利用二次函數(shù)最值的求法即可求出當(dāng)x=3時(shí)最大值為90，并且此時(shí)N（3，4）是AD的中點(diǎn)．
（3）因?yàn)椤鱉AC為直角三角形，所以∠MCA=90°或∠MAC=90°，需分情況討論：
若∠MCA=90°則M與B重合，所以M（0，3）；
若∠MAC=90°，則△AMD∽△OAD，DM：AD=AD：OD，
DM：10=10：8，所以DM=12.5，OM=12.5-8=5.5．
M（0，-5.5）．
點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖象．利用相似三角形的性質(zhì)和分情況討論的思想即可解決問題．