Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD與過C點(diǎn)的切線垂直，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E，∠CAB=30°

（1）如圖①，求∠DAC的大小；
（2）如圖②，若⊙O的半徑為4，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，如圖①，

∵DC切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥DC，又∵AD⊥DC，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=30°，∴∠DAC=30°；

（2）解：連OE，OC，如圖②，

∵∠EOC=2∠DAC=60°，∴△OEC為等邊三角形，∴EC=OE=4，∠OCE=60°，∴∠DCE=30°，

∴DE= CE=2．

【解析】（1）：連接OC根據(jù)切線的性質(zhì)定理得出OC⊥DC，又AD⊥DC，根據(jù)同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出AD∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAC=∠ACO，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠OCA=∠CAB=30°，利用等量代換得出結(jié)論；
（2）連OE，OC，根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍得出∠EOC=2∠DAC=60°，根據(jù)有一個(gè)角為60的等腰三角形是等邊三角形得出△OEC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形三邊相等得出EC=OE=4，然后利用含30角的直角三角形的邊角關(guān)系得出DE的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平行線的判定與性質(zhì)和含30度角的直角三角形，需要了解由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半才能得出正確答案．