Question

（1）計(jì)算：如圖①，直徑為a的三等圓⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩外切，切點(diǎn)分別為A、B、C ，求O₁A的長（用含的代數(shù)式表示）。

（2）探索:若干個(gè)直徑為a的圓圈分別按如圖10②所示的方案一和如圖10③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中n層圓圈的高度h_n和h_n′（用含n、a的代數(shù)式表示）；
（3）應(yīng)用：現(xiàn)有長方體集裝箱，其內(nèi)空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米，用這樣的集裝箱裝運(yùn)長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認(rèn)為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運(yùn)鋼管數(shù)最多？并求出一個(gè)這樣的集裝箱最多能裝運(yùn)多少根鋼管？（≈1.73）

Answer 1

解（1）∵⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩外切，
∴O₁O₂=O₂O₃=O₁O₃=a
又∵O₂A=O₃A
∴O₁A⊥O₂O₃
∴O₁A=
（2）h_n=na，h_n′=（n-1）a+a；
（3）方案二裝運(yùn)鋼管最多，
即：按圖③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多，
根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n，可得（n-1）×0.1≤3.1，
解得n≤35.68，
∵n為正整數(shù)，
∴n=35，
鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）。