Question

19．如圖，已知：AB為⊙O的直徑，過A作弦AC、AD，并延長與過B的切線交于M、N，求證：∠MCN=∠MDN．

Answer 1

分析 連接BC、BD，由勾股定理和相似得：BM²=AM•MC=AM²-AB²，化簡得AB²=AM•AC，同理得：AB²=AN•AD，則AM•AC=AN•AD，證明△MAD∽△NAC，可得結(jié)論；也可以直接利用切割線定理和四點共圓來證明．

解答 證明：連接BC、BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCM=90°，
∵MN是⊙O的切線，
∴∠ABM=90°，
∴∠BCM=∠ABM，
∵∠BMC=∠BMC，
∴△BMC∽△AMB，
∴$\frac{BM}{AM}=\frac{MC}{BM}$，
∴BM²=AM•MC，
在Rt△ABM中，BM²=AM²-AB²，
∴AM²-AB²=MC•AM，
∴AM（AM-MC）=AB²，
∴AB²=AM•AC，
同理得：AB²=AN•AD，
∴AM•AC=AN•AD，
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{AD}{AC}$，
∵∠MAD=∠NAC，
∴△MAD∽△NAC，
∴∠ADM=∠ACN，
∴∠MCN=∠MDN．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，有難度，本題是利用構(gòu)建相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)角相等及等角的補角相等，使問題得以解決．