Question

如圖，在△ABO中，已知點(diǎn)A(

3

，3)、B（-1，-1）、O（0，0），正比例函數(shù)y=-x圖象是直線l，直線AC∥x軸交直線l與點(diǎn)C．
（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

；
（2）以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（90°≤α＜180°），使得點(diǎn)B落在直線l上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，得到△A′OB′．
①∠α=

 

；②畫出△A′OB′．
（3）寫出所有滿足△DOC∽△AOB的點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直線AC∥x軸交直線l于點(diǎn)C，可知A、C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，直線l解析式為y=-x，可知C點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知B（-1，-1）可知OB為第三象限角平分線，又直線l為二、四象限角平分線，故旋轉(zhuǎn)角為90°，依題意畫出△A′OB′即可；
（3）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可知OA與x軸正半軸夾角為60°，可知∠AOB=165°，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，則∠DOC=165°，故OD在第四象限，與x軸正半軸夾角為30°或與y軸負(fù)半軸夾角為30°，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)求OA、OB、OC，利用

OD

OA

=

OC

OB

求OD，再確定D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線AC∥x軸交直線l于點(diǎn)C，
∴A、C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，代入直線y=-x中，得C點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3，
∴C（-3，3）；

（2）由B（-1，-1）可知，OB為第三象限角平分線，
又直線l為二、四象限角平分線，
∴旋轉(zhuǎn)角為∠α=∠BOB′=90°，△A′OB′如圖所示；

（3）∵A點(diǎn)坐標(biāo)可知OA與x軸正半軸夾角為60°，可知∠AOB=165°，
根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，則∠DOC=165°，故OD在第四象限，與x軸正半軸夾角為30°或與y軸負(fù)半軸夾角為30°，
根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，
∴OA=2

3

、OB=

2

、OC=3

2

，
∵

OD

OA

=

OC

OB

，
∴DO=

CO•AO

BO

=

2 3 ×3  2

2

=6

3

，
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：3

3

，或縱坐標(biāo)為：-3

3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（9，-3

3

），（3

3

，-9）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的作圖，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，直線解析式的特點(diǎn)求相關(guān)線段的長，角的度數(shù)，利用形數(shù)結(jié)合求解．