Question

小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙0中，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥AB于點(diǎn)E，則AE=BE．請(qǐng)證明此結(jié)論；
（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，PA，PB組成⊙0的一條折弦．C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE=PE+PB．可以通過(guò)延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)F，再連接AD證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫出證明過(guò)程；
（3）如圖3，PA．PB組成⊙0的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．

Answer 1

證明：（1）如圖1，連接AD，BD，
∵C是劣弧AB的中點(diǎn)，
∴∠CDA=∠CDB，
∴△ADB為等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴AE=BE；

（2）如圖2，延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)F，再連接AD，
∵ADBP是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠PBF=∠PAD，
∵C是劣弧AB的中點(diǎn)，
∴∠CDA=∠CDF，
∵CD⊥PA，
∴△AFD為等腰三角形，
∴∠F=∠A，AE=EF，
∴∠PBF=∠F，
∴PB=PF，
∴AE=PE+PB

（3）AE=PE-PB．
連接AD，BD，AB，DB、AP相交于點(diǎn)F，
∵弧AC=弧BC，
∴∠ADC=∠BDC，
∵CD⊥AP，
∴∠DEA=∠DEF，∠ADE=∠FDE，
∵DE=DE，
∴△DAE≌△DFE，
∴AD=DF，AE=EF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DFA=∠PFB，∠PBD=∠DAP，
∴∠PFB=∠PBF，
∴PF=PB，
∴AE=PE-PB；