Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形AOBC，AO=2，BO=3，函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將矩形AOBC分別沿直線AC，BC翻折，所得到的矩形分別與函數(shù)y=

k

x

（x＞0）交于點(diǎn)E，F(xiàn)求線段EF．
（3）若點(diǎn)P、Q分別在函數(shù)y=

k

x

圖象的兩個(gè)分支上，請直接寫出線段P、Q兩點(diǎn)的最短距離（不需證明）；并利用圖象，求當(dāng)

k

x

≤x時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA=2，OC=3即可直接得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先把點(diǎn)C（0，4）代入反比例函數(shù)y=

k

x

的解析式，故可得出EF兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出EF的長；
（3）當(dāng)P與Q的橫縱坐標(biāo)絕對值相等時(shí)，PQ的距離最小，令y=x，代入反比例解析式中求出x的值，即為y的值，確定出P與Q的坐標(biāo)，即可求出OP與OQ的長，由OP+OQ即可求出P、Q最短距離PQ的長；先根據(jù)y=x時(shí)得出x的值，再根據(jù)函數(shù)圖象的增減性進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）∵四邊形AOBC是矩形，OA=2，OC=3
∵C（3，2）；

（2）∵點(diǎn)C（3，2）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴2=

k

3

，即k=6，
∴此反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

，
∵AD=OA=2，BG=OC=3，
∴D（0，4），G（6，0），
當(dāng)y=4時(shí)，4=

6

x

，解得x=

3

2

，
∴E（

3

2

，4）
把x=6代入y=

6

x

得y=1，
∴F（6，1），
∴EF=

( 3 2 -6)2+(4-1)2

=

3 13

2

；

（3）當(dāng)P與Q的橫縱坐標(biāo)絕對值相等時(shí)，PQ的距離最小，
∴將y=x代入y=

6

x

得x²=6，
解得：x=±

6

，
∴P（

6

，

6

），Q（-

6

，-

6

），
∴此時(shí)PQ的距離最短，最短距離PQ=

(2 6 )2+(2 6 )2

=4

3

，即PQ最小值為4

3

．
∵由x=

6

x

時(shí)，x₁=

6

，x₂=-

6

，
∵根據(jù)圖象，當(dāng)x≥

6

時(shí)，y隨著x的增大而減小；
當(dāng)-

6

≤x＜0時(shí)，y隨著x的增大而�。�
∴當(dāng)

6

x

≤x時(shí)，x的取值范圍為：x≥

6

或-

6

≤x＜0．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)及矩形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．