Question

（2012•從化市一模）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）經(jīng)過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)E，若點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如圖（2）P（2，3）是拋物線上的點(diǎn)，Q是直線AP上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求△APQ的最大面積和此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值．再通過配方、令函數(shù)值為0可求出頂點(diǎn)D以及點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）由圖可知：若以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，令EF∥AB顯然不符合要求，那么只需考慮BF∥AE即可，那么還需滿足BF=AE；首先求出直線BD的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)以及AE、BF的長，由此可確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中驗(yàn)證即可．
（3）分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，那么△APQ的面積可由五邊形和△APS（以解答圖為準(zhǔn)）的面積差求得，在得到關(guān)于△APQ的面積和Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可確定該題的答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，有：

a-b-3a=0 -3a=3

，
解得

a=-1 b=2

拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
∵由-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3
∴C（3，0）
∵由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴D（1，4）．

（2）∵四邊形AEBF是平行四邊形，
∴BF=AE． 
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，則
∵B（0，3），D（1，4）
∴

b=3 k+b=4

，
解得

k=1 b=3

∴直線BD的解析式為：y=x+3；
當(dāng)y=0時(shí)，x=-3
∴E（-3，0），∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，∴AE=2，
∴BF=2，
∴F的橫坐標(biāo)為2，
∴y=3，
∴F（2，3）．

（3）如圖，設(shè)Q（a，-a²+2a+3），作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點(diǎn)S、R，且P（2，3），
∴AR=a+1，QR=-a²+2a+3，PS=3，RS=2-a，AS=3
∴S_△PQA=S_{四邊形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA
=

(PS+QR)

2

×RS+

AR×QR

2

-

PS×AS

2

=

(3-a2+2a+3)

2

×(2-a)+

(a+1)×(-a2+2a+3)

2

-

3×3

2

∴S_△PQA=-

3

2

a2+

3

2

a+3=-

3

2

(a-

1

2

)2+

27

8

∴當(dāng)a=

1

2

時(shí)，S_△PQA的最大面積為

27

8

，
此時(shí)Q(

1

2

，

15

4

)．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積等基礎(chǔ)知識，考查了計(jì)算能力．在解題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的合理應(yīng)用．