Question

【題目】在平行四邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，

解答下列問題：

（1）當(dāng)為何值時(shí)是等腰三角形？

（2）設(shè)五邊形面積為，試確定與的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使得平分，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）或或 （2） （3）存在； （4）存在；

【解析】

（1）分三種情況：，，分類討論即可；

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先求出的面積，再求出四邊形的面積，把兩個(gè)面積相加即可；

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，再求出的面積，由第二問我們可以知道五邊形面積表達(dá)式，根據(jù)列出方程即可得出答案；

（4）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，利用，得出，設(shè)，則，利用，得出的表達(dá)式，在中，利用勾股定理列出方程，求出，進(jìn)而求出，從而得出答案．

解：∵，，,

∴，

∴都是直角三角形，

∴，

∵四邊形是平行四邊形，

∴，

（1）當(dāng)，

由題意知道：，∴，即；

當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

∵，，

∴，

∴，即：，

解得：；

當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

∵，

∴，即，

解得：；

綜上所述：當(dāng)、或時(shí)，是等腰三角形；

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，,

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴

∴，

∴，

在中，，

，

∴，

∴；

（3）存在；

理由如下：

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

整理得：

解得：，

∵不能為負(fù)數(shù)，

∴舍去，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，；

（4）存在；

理由如下：

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

設(shè)，則，

∵，，

∴,

∴，即，

∴，

在中，由勾股定理得：

，即，

整理得：，

解得：，（舍去），

∵不能為負(fù)數(shù)，∴舍去，

∴，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，平分．