Question

已知點M，N的坐標分別為（0，1），（0，-1），點P是拋物線y=

1

4

x2上的一個動點．
（1）求證：以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1的相切；
（2）設直線PM與拋物線的另一個交點為點Q，連接NP，NQ，求證：∠PNM=∠QNM；
（3）是否存在這樣的點P，使得△PMN為等腰直角三角形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出點P的坐標，分別表示出PM、P到直線y=-1的距離，然后判斷它們是否相等即可；
（2）分別過P、Q作直線y=-1的垂線，設垂足為H、R，那么PH∥MN∥QR，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得：PM：HN=QM：RN，而PM=PH，QM=QR，等量代換后即可證得△PNH∽△QNR，由此可得∠QNR=∠PNH，進而可證得所求的結論；
（3）顯然∠PNM、∠NPM都不可能是直角，當∠PMN=90°時，若△PMN是等腰直角三角形，那么PM=MN=2，由此可求出點P的坐標．（另一種解法：若△PNM是等腰Rt△，那么∠PNM=∠PNH=45°，由此可得PH=NH，可列方程求出點P的坐標．）

解答：解：（1）設點P的坐標為（x₀，

1

4

x₀²），則
PM=

x02+ ( 1 4 x 2 0 -1)2

=

( 1 4 x 2 0 +1)2

= 1 4 x

2 0

+1；（2分）
又因為點P到直線y=-1的距離為

1

4

x

2 0

-(-1)=

1

4

x

2 0

+1，
所以，以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1相切；（2分）

（2）如圖，分別過點P，Q作直線y=-1的垂線，垂足分別為H，R；
由（1）知，PH=PM，
同理可得，QM=QR．（2分）
因為PH，MN，QR都垂直于直線y=-1，
所以PH∥MN∥QR，（1分）
于是

QM

RN

=

MP

NH

，
所以

QR

RN

=

PH

HN

，
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN，（2分）
于是∠HNP=∠RNQ，從而∠PNM=∠QNM；（1分）

（3）顯然，∠MNP≠90°，∠NPM≠90°，
所以，只能∠PMN=90°，（2分）
要使△PMN為等腰直角三角形，則有：
PM⊥MN且PM=MN，（1分）
所以，P（2，1）或（-2，1）（1分）

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了切線的判定、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定等知識，難度適中．