Question

【題目】如圖1，在直角坐標(biāo)系中，直線l與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、B（0，）兩點(diǎn)，∠BAO的角平分線交y軸于點(diǎn)D． 點(diǎn)C為直線l上一點(diǎn)，以AC為直徑的⊙G經(jīng)過點(diǎn)D，且與x軸交于另一點(diǎn)E．

（1）求出⊙G的半徑r，并直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若點(diǎn)F為⊙G上的一點(diǎn)，連接AF，且滿足∠FEA=45°，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)？

Answer 1

【答案】（1） ，（，2）； （2）

【解析】

（1）連接GD，CE，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式可得OA=2，OB=，AB=，設(shè)GD=GA=r，證出△BDG∽△BOA，列出比例式即可求出r，證出△CEA∽BOA，列出比例式即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，連接CF，根據(jù)等腰直角三角形的判定和同弧所對(duì)的圓周角相等可得△EHA為等腰直角三角形，∠FCA=∠FEA=45°，利用銳角三角函數(shù)即可求出EH和HA，然后利用直徑所對(duì)的圓周角是直角和銳角三角函數(shù)即可求出AF，再根據(jù)勾股定理即可求出HF，從而求出EF．

解：（1）連接GD，CE

∵點(diǎn)A（2，0）、B（0，）

∴OA=2，OB=，AB=

設(shè)GD=GA=r，則BG=AB－GA=

∴∠GAD=∠GDA

∵AD平分∠BAO

∴∠GAD=∠OAD

∴∠GDA=∠OAD

∴GD∥OA

∴△BDG∽△BOA

∴

即

解得：r=

∵AC為直徑

∴AC=，∠CEA=90°

∵∠BOA=90°，∠CAE=∠BAO

∴∠CEA=∠BOA，

∴△CEA∽BOA

∴

即

解得：

∴OE=OA－AE=

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，2）；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，連接CF

∵∠FEA=45°

∴△EHA為等腰直角三角形，∠FCA=∠FEA=45°

∴EH=HA=AE·sin∠FEA=，

∵AC為直徑

∴∠CFA=90°

∴△CFA為等腰直角三角形

∴AF= AC·sin∠FCA =

在Rt△HFA中，HF=

∴EF=EH＋HF=