Question

如圖，中，，為的中點．

操作：過點做的垂線，過點作的平行線，兩直線相交于點，在的延長線上截取，聯(lián)結(jié)、．

     

（1）試判斷與之間有怎樣的關(guān)系，并證明你所得的結(jié)論；

（2）如果，，求的長．

 

Answer 1

【答案】

解：如圖，（1）EF與BD互相垂直平分．

證明如下：連結(jié)DE、BF，∵BE //DF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形． 

∵CD⊥BE，∴CD⊥AD，

∵∠ABC=90º，E為AC的中點，

∴BE=DE=，

∴四邊形BEDF是菱形．

∴EF與BD互相垂直平分．

（2）設(shè)DF=BE=，則AC=2，AD=AF–DF=13–．

在Rt△ACD中，∵，（1分）∴．

∴AC=10．

【解析】（1）證平行四邊形BEDF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線證BE=DF，推出菱形BEDF即可；

（2）設(shè)DF=BE=x，則AC=2x，AD=AF-DF=13-x，在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理求出x，即可得到答案．