Question

已知拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（O，4），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）
（1）求該拋物線解析式；
（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接OQ，當(dāng)△OQE的面積最大時(shí)，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作平行于x軸的直線MN交拋物線于M、N點(diǎn)，以線段MN的長(zhǎng)為直徑作圓，當(dāng)直線MN運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以線段MN為直徑的圓與X軸相切？寫出過(guò)程；
（4）線段CA上的動(dòng)點(diǎn)P自C向A以每秒

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單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段AB上動(dòng)點(diǎn)Q自A向B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（O，4），與x軸交于點(diǎn)A（4，0），將經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)中即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)Q（m，0），可求得B（-2，0），|BA|=6，|BQ|=m+2，根據(jù)QE∥AC得到△BQE∽△BAC，利用相似三角形面積的比等于相似比的平方表示出三角形BEQ的面積，進(jìn)而表示出三角形CQE的面積，求出最大值即可；
（3）由對(duì)稱性和垂徑定理知，圓心必在拋物線對(duì)稱軸上，拋物線對(duì)稱軸為x=1．然后分當(dāng)圓心在x軸上方時(shí)和當(dāng)圓心在x軸下方時(shí)，兩種情況求得r的值即可；
（4）分△APQ∽△ACB和△APQ∽△ABC兩種情況求得t的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（O，4），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）
∴

c=4 16a-8a+c=0

解得：

a=- 1 2 c=4

∴函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

2

x2+x+4；

（2）設(shè)Q（m，0），
可求得B（-2，0），|BA|=6，|BQ|=m+2，
因QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴

S△BEQ

S△ABC

=

BQ2

BA2

，
∴S△BEQ=

(m+2)2

3

．S△CQE=S△BQC-SBEQ=-

1

3

(m-1)2+3(-2＜m＜4)，
當(dāng)m=1時(shí)，面積最大，此時(shí)Q（1，0）；

（3）由對(duì)稱性和垂徑定理知，圓心必在拋物線對(duì)稱軸上，
拋物線對(duì)稱軸為x=1．當(dāng)圓心在x軸上方時(shí)，設(shè)圓心坐標(biāo)為（1，r），（r＞0）．
則M（1-r，r），將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式中得：r=-

1

2

(1-r)2+1-r+4，
解得r=

10

-1．當(dāng)圓心在x軸下方時(shí)，可求得r=-

10

-1，
所以當(dāng)MN所在的直線解析式為y=

10

-1或y=-

10

-1時(shí)，
以線段MN為直徑的圓與x軸相切；

（4）若△APQ∽△ACB時(shí)，t=2.4；
若△APQ∽△ABC時(shí)，t=

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．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，這類題目往往出現(xiàn)在中考試題的最后一個(gè)題中，難度相對(duì)較大．