Question

【題目】先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：

完全平方公式x2±2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒為非負數(shù)的特點在數(shù)學學習中有著廣泛的應用，比如探求多項式2x2+12x﹣4的最大（�。┲禃r，我們可以這樣處理：

解：原式=2（x2+6x﹣2）

=2（x2+6x+9﹣9﹣2）

=2[（x+3）2﹣11]

=2（x+3）2﹣22

因為無論x取什么數(shù)，都有（x+3）2的值為非負數(shù)，所以（x+3）2的最小值為0，此時x=﹣3，進而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22，所以當x=﹣3時，原多項式的最小值是﹣22

解決問題：

請根據(jù)上面的解題思路，探求

（1）多項式3x2﹣6x+12的最小值是多少，并寫出對應的x的取值．

（2）多項式﹣x2﹣2x+8的最大值是多少，并寫出對應的x的取值．

Answer 1

【答案】（1）當x=1時，原多項式的最小值是9；（2）當x=﹣1時，原多項式的最大值是9．

【解析】

試題分析：（1）先把給出的式子化成完全平方的形式，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；

（2）根據(jù)完全平方公式把給出的式子進行整理，即可得出答案．

解：（1）3x2﹣6x+12

=3（x2﹣2x+4）

=3（x2﹣2x+1﹣1+4）

=3（x﹣1）2+9，

∵無論x取什么數(shù)，都有（x﹣1）2的值為非負數(shù)，

∴（x﹣1）2的最小值為0，此時x=1，

∴3（x﹣1）2+9的最小值為：3×0+9=9，

則當x=1時，原多項式的最小值是9；

（2）﹣x2﹣2x+8

=﹣（x2+2x﹣8）

=﹣（x2+2x+1﹣1﹣8）

=﹣（x+1）2+9，

∵無論x取什么數(shù)，都有（x+1）2的值為非負數(shù)，

∴（x+1）2的最小值為0，此時x=﹣1，

∴﹣（x+1）2+9的最大值為：﹣0+9=9，

則當x=﹣1時，原多項式的最大值是9．