Question

如圖，一次函數(shù)y=-

2

3

x+2的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）點A的坐標(biāo)是（

3

，

0

 ），點B的坐標(biāo)是（

0

，

2

 ）
（2）求Rt△ABC的面積．
（3）求過B、C兩點直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）中所求得出AO，BO的長，即可得出AB的長，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出Rt△ABC的面積；
（3）作CD⊥x軸于點D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)可知OA=CD，AD=OB，故可得出C點坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式．

解答：解：（1）一次函數(shù)y=-

2

3

x+2中，
令y=0，解得x=3．                            
則點A的坐標(biāo)是（3，0）．
令x=0得y=2． 
則點B的坐標(biāo)是（0，2）；
故答案為：3，0，0，2；

（2）∵點A的坐標(biāo)是（3，0），點B的坐標(biāo)是（0，2），
∴BO=2，AO=3，
∴AB=

22+32

=

13

，
∵以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，
∴AC=AB=

13

，
∴Rt△ABC的面積為：

1

2

×

13

×

13

=

13

2

；                    
                     
（3）如圖所示：作CD⊥x軸于點D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
在△ABO與△CAD中，

∠BOA=∠CDA=90° ∠ACD=∠BAO AB=AC

，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=OB=2，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=5．
則點C的坐標(biāo)是（5，3）．                       
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

b=2 5k+b=3

，
解得：

k= 1 5 b=2

．                               
則直線BC的解析式是：y=

1

5

x+2．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．