Question

在平面直角坐標系xOy中，關(guān)于y軸對稱的拋物線y=-

m-1

3

x²+（m-2）x+4m-7與x軸交于A、B 兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，P是這條拋物線上的一點（點P不在坐標軸上），且點P關(guān)于直線BC的對稱點在x軸上，D（0，3）是y軸上的一點．
（1）求拋物線的解析式及點P的坐標；
（2）若E、F是 y 軸負半軸上的兩個動點（點E在點F的上面），且EF=2，當四邊形PBEF的周長最小時，求點E、F的坐標；
（3）若Q是線段AC上一點，且S_△COQ=2S_△AOQ，M是直線DQ上的一個動點，在x軸上方的平面內(nèi)存在一點N，使得以 O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，請你直接寫出點N的坐標

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件求出拋物線的解析式，再根據(jù)A、B兩點求出∠OBC的度數(shù)和∠OBD的度數(shù)，再證出直線BD與x軸關(guān)于直線BC對稱，再設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，再把各點代入，最后求出結(jié)果即可．
（2）本題可先過點P作PG⊥x軸于G，在PG上截取PH=2，證出四邊形PHEF為平行四邊形得出HE=PF，再根據(jù)已有的條件證出Rt△AOE∽Rt△AGH，最后即可求出點E、F的坐標．
（3）本題根據(jù)已有的條件，再結(jié)合圖形，可以直接寫出點N的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

m-1

3

x2+（m-2）x+4m-7關(guān)于y軸對稱，
∴m-2=0．
∴m=2．
∴拋物線的解析式是y=-

1

3

x2+1
令y=0，得x=±

3

∴A（-

3

，0），B（

3

，0）
在Rt△BOC中，OC=1，OB=

3

，可得∠OBC=30°．
在Rt△BOD中，OD=3，OB=

3

，可得∠OBD=60°．
∴BC是∠OBD的角平分線．
∴直線BD與x軸關(guān)于直線BC對稱．
因為點P關(guān)于直線BC的對稱點在x軸上，
則符合條件的點P就是直線BD與拋物線y=-

1

3

x2+1的交點．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．
∴

3 k+b=0 b=3

，
∴

k=- 3 b=3

，
∴直線BD的解析式為y=-

3

x+3
∵點P在直線BD上，設(shè)P點坐標為(x，-

3

x+3)
又因為點P在拋物線y=-

1

3

x2+1上，
∴-

3

x+3=-

1

3

x2+1
∴x1=

3

，x2=2

3

．
∴y₁=0，y₂=-3
∴點P的坐標是(2

3

，-3)．

（2）過點P作PG⊥x軸于G，在PG上截取PH=2，連接AH與y軸交于點E，在y軸的負半軸上截取EF=2．

∵PH∥EF，PH=EF，
∴四邊形PHEF為平行四邊形，有HE=PF．
又∵PB、EF的長為定值，
∴此時得到的點E、F使四邊形PBEF的周長最小．
∵OE∥GH，
∴Rt△AOE∽Rt△AGH．
∴

OE

GH

=

AO

AG

．
∴OE=

3

3 3

=

1

3

．
∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

．
∴點E的坐標為（0，-

1

3

），點F的坐標為（0，-

7

3

）．

（3）點N的坐標是N1(

3

8

3

，

3

2

）或N2(

3

19

57

，

12

19

19

）或N3(-

24

19

3

，

18

19

)．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．